Para cada curva polar dada, determine os valores de
para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede: determinar todos os valores de
para os quais a reta tangente à curva é horizontal e para os quais é vertical.
Informações úteis do enunciado:
Informações úteis do enunciado:
- A curva está dada em coordenadas polares por
. - A função
é definida para todo real. - Note que
para todo (porque ), então a curva nunca passa pela origem.
Passo 2
Vamos escrever a curva em forma paramétrica em termos de
. Em coordenadas polares temos as relações
Essas expressões são parametrizações de
e
por
. A inclinação da tangente no plano cartesiano é dada por
desde que
. Para lembrar a condição prática:
- A tangente é horizontal quando
e . - A tangente é vertical quando
e .
Passo 3
Calculemos as derivadas. Primeiro a derivada de
em relação a
:
Agora derivamos
e
:
Substituindo
e
:
Simplificando a expressão de
:
Para
usamos
:
Portanto a inclinação é (quando o denominador não for zero)
Passo 4
Tangentes horizontais: impondo
e
.
Da expressão de
,
separa em fatores:
Soluções:
-
dá -
dá ou , que está contido na família anterior ( com ímpar).
Devemos verificar que nesses
o denominador
não é zero. Calculando:
- Para
: , , então . - Para
: , , então .
Logo todos esses pontos são realmente tangentes horizontais. Conclusão:
Passo 5
Tangentes verticais: impondo
e
.
Começamos resolvendo
Usando
e chamando
, obtemos a equação quadrática
Resolvendo:
A raiz
é menor que
, impossível para
. Portanto a única solução admissível é
Denote
. As soluções para
são
Finalmente precisamos checar que
nessas soluções. Como
, tem
, e
(porque
), segue que
. Assim são realmente tangentes verticais.
Em valores numéricos (uma volta
):
e mais as repetições a cada
.
Passo 6
Resumo das observações finais (curtas):
- Não existem pontos onde ambos numerador e denominador se anulam simultaneamente, então não houve ambiguidade do tipo indeterminado para as tangentes.
- Como
, a curva não passa pela origem e não há singularidade por .
Resposta
Tangente horizontal:
Tangente vertical:
Tangente vertical: