Para cada curva polar dada, determine os valores de \theta para os quais a reta tangente à curva é horizontal ou vertical:
r=2+\sin \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r(\theta)=2+\sin\theta
e pede: determinar todos os valores de \theta para os quais a reta tangente à curva é horizontal e para os quais é vertical.
Informações úteis do enunciado:
  • A curva está dada em coordenadas polares por r(\theta)=2+\sin\theta.
  • A função r(\theta) é definida para todo \theta real.
  • Note que r(\theta)\ge 1 para todo \theta (porque \sin\theta\ge-1), então a curva nunca passa pela origem.

Passo 2

Vamos escrever a curva em forma paramétrica em termos de \theta. Em coordenadas polares temos as relações
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Essas expressões são parametrizações de x e y por \theta. A inclinação da tangente no plano cartesiano é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0. Para lembrar a condição prática:
  • A tangente é horizontal quando \dfrac{dy}{d\theta}=0 e \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0.
  • A tangente é vertical quando \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq 0.

Passo 3

Calculemos as derivadas. Primeiro a derivada de r em relação a \theta:
r'(\theta)=\frac{dr}{d\theta}=\cos\theta.
Agora derivamos x e y:
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Substituindo r e r':
\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta\sin\theta + (2+\sin\theta)\cos\theta,
\frac{dx}{d\theta}=\cos\theta\cos\theta - (2+\sin\theta)\sin\theta.
Simplificando a expressão de \dfrac{dy}{d\theta}:
\frac{dy}{d\theta}= \cos\theta\sin\theta +2\cos\theta +\sin\theta\cos\theta =2\cos\theta +2\sin\theta\cos\theta =2\cos\theta(1+\sin\theta).
Para \dfrac{dx}{d\theta} usamos \cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos(2\theta):
\frac{dx}{d\theta}=\cos^2\theta -2\sin\theta -\sin^2\theta =(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-2\sin\theta =\cos(2\theta)-2\sin\theta.
Portanto a inclinação é (quando o denominador não for zero)
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos\theta(1+\sin\theta)}{\cos(2\theta)-2\sin\theta}.

Passo 4

Tangentes horizontais: impondo \dfrac{dy}{d\theta}=0 e \dfrac{dx}{d\theta}\neq0.
Da expressão de \dfrac{dy}{d\theta},
2\cos\theta(1+\sin\theta)=0
separa em fatores:
\cos\theta=0 \quad\text{ou}\quad 1+\sin\theta=0.
Soluções:
  • \cos\theta=0 \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
  • 1+\sin\theta=0 \sin\theta=-1 ou \theta=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, que está contido na família anterior ( \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k ímpar).
Devemos verificar que nesses \theta o denominador \dfrac{dx}{d\theta}=\cos(2\theta)-2\sin\theta não é zero. Calculando:
  • Para \theta=\dfrac{\pi}{2}: \cos(2\theta)=\cos\pi=-1, \sin\theta=1, então \cos(2\theta)-2\sin\theta=-1-2=-3\neq0.
  • Para \theta=\dfrac{3\pi}{2}: \cos(2\theta)=\cos3\pi=-1, \sin\theta=-1, então \cos(2\theta)-2\sin\theta=-1+2=1\neq0.
Logo todos esses pontos são realmente tangentes horizontais. Conclusão:
\text{Tangente horizontal: }\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Tangentes verticais: impondo \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0.
Começamos resolvendo
\cos(2\theta)-2\sin\theta=0.
Usando \cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta e chamando s=\sin\theta, obtemos a equação quadrática
1-2s^2-2s=0 \quad\Longrightarrow\quad 2s^2+2s-1=0.
Resolvendo:
s=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}.
A raiz \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} é menor que -1, impossível para \sin\theta. Portanto a única solução admissível é
\sin\theta=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.
Denote s_0=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}3660. As soluções para \theta são
\theta=\arcsin\!\big(s_0\big)+2k\pi \quad\text{ou}\quad \theta=\pi-\arcsin\!\big(s_0\big)+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Finalmente precisamos checar que \dfrac{dy}{d\theta}\neq0 nessas soluções. Como s_0\neq -1, tem 1+\sin\theta\neq0, e \cos\theta\neq0 (porque \sin\theta\approx0{,}366), segue que \dfrac{dy}{d\theta}=2\cos\theta(1+\sin\theta)\neq0. Assim são realmente tangentes verticais.
Em valores numéricos (uma volta 0\le\theta<2\pi):
\theta\approx 0{,}374\\ \text{rad}\quad(\approx21{,}4^\circ)\quad\text{e}\quad \theta\approx 2{,}768\\ \text{rad}\quad(\approx158{,}6^\circ),
e mais as repetições a cada 2\pi.

Passo 6

Resumo das observações finais (curtas):
  • Não existem pontos onde ambos numerador e denominador se anulam simultaneamente, então não houve ambiguidade do tipo indeterminado para as tangentes.
  • Como r(\theta)\ge1, a curva não passa pela origem e não há singularidade por r=0.

Resposta

Tangente horizontal: \displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
Tangente vertical: \displaystyle \theta=\arcsin\!\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)+2k\pi\quad\text{ou}\quad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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