Triângulo equilátero: centro e combinações Triângulo equilátero A B C, \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, centro O.
Prove \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0} e relacione \operatorname{com} O.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
Um triângulo equilátero A B C.
Dois vetores ligados aos lados: \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{B C}.
O segmento restante do contorno é \overrightarrow{C A}.
Existe um ponto chamado O referido como “centro” do triângulo (no triângulo equilátero o “centro” é o ponto de encontro das medianas, das bissetrizes e das alturas — ou seja, o mesmo ponto para todas essas noções).
O que o problema pede:
Provar a identidade \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}.
Relacionar essa identidade com o ponto O (ou seja, interpretar/expressar em termos de vetores a partir de O para os vértices).
Passo 2
Primeira ideia: fechar o “caminho” ao andar pelos vértices A\to B\to C\to A. Essa é uma propriedade geométrica básica: se eu sigo um polígono fechando o contorno, a soma vetorial dos deslocamentos ao longo das arestas é o vetor nulo, porque volto ao ponto inicial.
Assim a primeira parte do pedido está provada. Observação: essa igualdade vale para qualquer triângulo (não depende de ser equilátero) — é consequência do percurso fechado.
Passo 4
Agora vamos relacionar com o ponto O. Para isso é conveniente introduzir vetores posição a partir de O. Defina
Isso reconfirma a identidade anterior, agora escrita em termos de \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Tudo coerente.
Passo 6
Agora usemos a simetria especial do triângulo equilátero para extrair uma relação interessante com O. No triângulo equilátero o ponto O (o “centro” referido) é simultaneamente:
o baricentro (centro de massa dos vértices),
o circuncentro (centro da circunferência circunscrita),
o incentro (centro da circunferência inscrita),
o ortocentro (interseção das alturas).
Em particular, porque O é o baricentro, o vetor posição de O em relação aos vértices satisfaz a fórmula do baricentro: se G é o baricentro então
Tomando G=O e escrevendo em termos das vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c} já definidos (que são \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C}), essa igualdade é simplesmente
\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}.
Passo 7
Explicação detalhada (didática) de por que \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} para o centro O do triângulo equilátero:
Uma forma de ver é pela definição do baricentro: o ponto médio de massas iguais nos vértices tem posição
\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}.
O baricentro é exatamente esse ponto. Se escolhemos O como origem das nossas \vec{a},\vec{b},\vec{c} e O coincide com o baricentro, então \vec{g}=\overrightarrow{O O}=\overrightarrow{0}. Daí
Alternativamente, por simetria do triângulo equilátero: os três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} têm o mesmo módulo e estão separados por ângulos de 120^\circ; a soma de três vetores iguais com ângulos 120^\circ entre eles dá o vetor nulo (essa é uma propriedade vetorial básica).
Passo 8
Agora ligue as duas ideias: já vimos que as arestas escrevem-se como diferenças das \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
A soma dessas três é zero (Passo 5). Se além disso escolhermos O como origem de coordenadas e lembrarmos que \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} (Passo 7), obtemos duas formas complementares da mesma simetria do triângulo:
forma pelas arestas: \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0};
forma pelas posições dos vértices a partir de O: \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}.
Intuição geométrica: a primeira expressão diz “seguir as arestas volta ao ponto inicial”; a segunda diz “os vetores que vão do centro O aos vértices se cancelam mutuamente por simetria”.
Passo 9
Exemplo rápido para fixar (sem exigir cálculo de prova): coloque o triângulo equilátero centrado na origem O=(0,0) no plano, com vértices em coordenadas
Os vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c} somam componente a componente a zero (verificação direta), e as diferenças \vec{b}-\vec{a},\\ \vec{c}-\vec{b},\\ \vec{a}-\vec{c} também somam zero. Isso ajuda a visualizar numericamente as igualdades provadas abstratamente acima.