Triângulo equilátero: centro e combinações Triângulo equilátero A B C, \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, centro O.
Prove \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0} e relacione \operatorname{com} O.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Um triângulo equilátero A B C.
  • Dois vetores ligados aos lados: \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{B C}.
  • O segmento restante do contorno é \overrightarrow{C A}.
  • Existe um ponto chamado O referido como “centro” do triângulo (no triângulo equilátero o “centro” é o ponto de encontro das medianas, das bissetrizes e das alturas — ou seja, o mesmo ponto para todas essas noções).
O que o problema pede:
  1. Provar a identidade \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}.
  2. Relacionar essa identidade com o ponto O (ou seja, interpretar/expressar em termos de vetores a partir de O para os vértices).

Passo 2

Primeira ideia: fechar o “caminho” ao andar pelos vértices A\to B\to C\to A. Essa é uma propriedade geométrica básica: se eu sigo um polígono fechando o contorno, a soma vetorial dos deslocamentos ao longo das arestas é o vetor nulo, porque volto ao ponto inicial.
Em linguagem vetorial:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}.
Isto é simplesmente a versão vetorial do fato “vou de A até B, depois até C e volto a A — o deslocamento total é zero”.

Passo 3

Aplicando o que temos no enunciado: como \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{B C}, substitui-se na identidade do Passo 2:
\vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}.
Assim a primeira parte do pedido está provada. Observação: essa igualdade vale para qualquer triângulo (não depende de ser equilátero) — é consequência do percurso fechado.

Passo 4

Agora vamos relacionar com o ponto O. Para isso é conveniente introduzir vetores posição a partir de O. Defina
\vec{a}=\overrightarrow{O A},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{O B},\qquad \vec{c}=\overrightarrow{O C}.
Estas são as coordenadas vetoriais dos vértices quando tomamos O como origem dos vetores.
Expresse as arestas em função de \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Lembrando a regra de soma/subtração de vetores posição:
\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a},\qquad \overrightarrow{B C}=\vec{c}-\vec{b},\qquad \overrightarrow{C A}=\vec{a}-\vec{c}.

Passo 5

Substituindo essas expressões na soma das arestas obtemos (verificação algébrica, passo a passo):
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A} =(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{b})+(\vec{a}-\vec{c}).
Agrupando termos iguais:
(\vec{b}-\vec{b})+(\vec{c}-\vec{c})+(\vec{a}-\vec{a})=\overrightarrow{0}.
Isso reconfirma a identidade anterior, agora escrita em termos de \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Tudo coerente.

Passo 6

Agora usemos a simetria especial do triângulo equilátero para extrair uma relação interessante com O. No triângulo equilátero o ponto O (o “centro” referido) é simultaneamente:
  • o baricentro (centro de massa dos vértices),
  • o circuncentro (centro da circunferência circunscrita),
  • o incentro (centro da circunferência inscrita),
  • o ortocentro (interseção das alturas).
Em particular, porque O é o baricentro, o vetor posição de O em relação aos vértices satisfaz a fórmula do baricentro: se G é o baricentro então
\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}.
Tomando G=O e escrevendo em termos das vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c} já definidos (que são \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C}), essa igualdade é simplesmente
\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}.

Passo 7

Explicação detalhada (didática) de por que \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} para o centro O do triângulo equilátero:
  • Uma forma de ver é pela definição do baricentro: o ponto médio de massas iguais nos vértices tem posição
\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}.
O baricentro é exatamente esse ponto. Se escolhemos O como origem das nossas \vec{a},\vec{b},\vec{c} e O coincide com o baricentro, então \vec{g}=\overrightarrow{O O}=\overrightarrow{0}. Daí
\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\overrightarrow{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}.
  • Alternativamente, por simetria do triângulo equilátero: os três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} têm o mesmo módulo e estão separados por ângulos de 120^\circ; a soma de três vetores iguais com ângulos 120^\circ entre eles dá o vetor nulo (essa é uma propriedade vetorial básica).

Passo 8

Agora ligue as duas ideias: já vimos que as arestas escrevem-se como diferenças das \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
\vec{u}=\vec{b}-\vec{a},\qquad \vec{v}=\vec{c}-\vec{b},\qquad \overrightarrow{C A}=\vec{a}-\vec{c}.
A soma dessas três é zero (Passo 5). Se além disso escolhermos O como origem de coordenadas e lembrarmos que \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} (Passo 7), obtemos duas formas complementares da mesma simetria do triângulo:
  • forma pelas arestas: \vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0};
  • forma pelas posições dos vértices a partir de O: \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}.
Intuição geométrica: a primeira expressão diz “seguir as arestas volta ao ponto inicial”; a segunda diz “os vetores que vão do centro O aos vértices se cancelam mutuamente por simetria”.

Passo 9

Exemplo rápido para fixar (sem exigir cálculo de prova): coloque o triângulo equilátero centrado na origem O=(0,0) no plano, com vértices em coordenadas
A=\bigl(1,0\bigr),\quad B=\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr),\quad C=\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
Os vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c} somam componente a componente a zero (verificação direta), e as diferenças \vec{b}-\vec{a},\\ \vec{c}-\vec{b},\\ \vec{a}-\vec{c} também somam zero. Isso ajuda a visualizar numericamente as igualdades provadas abstratamente acima.

Resposta

\vec{u}+\vec{v}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}
\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}

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