Para cada uma das curvas
e
, determine, no instante
,
o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.
Passo 1
O exercício pede que, para cada curva α e β, no instante t=0, obtenhamos o triedro de Frenet (T, N, B), a curvatura κ e a torção τ. O assunto é geometria diferencial de curvas e vamos usar derivadas até terceira ordem, norma de vetores, produto vetorial e as fórmulas de Frenet–Serret.
Passo 2
Dada uma curva r(t), definimos
,
e
. As fórmulas são em bloco:
Passo 3
Para α:
. Então
,
,
. Em
:
e
.
O tangente unitário é em bloco:
O tangente unitário é em bloco:
O produto vetorial em
é
com
, daí
Passo 4
Calculando
e avaliando em
obtemos
. Então
Como
, segue
.
Passo 5
Para β:
. Temos
,
,
. Em
:
,
.
O tangente unitário é
O tangente unitário é
O produto vetorial é
com
. Logo
Passo 6
Derivando
dá
com
. Então
O numerador da torção é
e
, logo
Resposta
Para α em t=0:
T=\bigl(3/\sqrt{13},0,2/\sqrt{13}\bigr),
N=(0,1,0),
B=(-2/\sqrt{13},0,3/\sqrt{13}),
κ=18/13,
τ=0.
T=\bigl(3/\sqrt{13},0,2/\sqrt{13}\bigr),
N=(0,1,0),
B=(-2/\sqrt{13},0,3/\sqrt{13}),
κ=18/13,
τ=0.
Para β em t=0:
T=(1/2,-1/2,\sqrt2/2),
N=(\sqrt2/2,\sqrt2/2,0),
B=(-1/2,1/2,\sqrt2/2),
κ=\sqrt2/4,
τ=-\sqrt2/4.
T=(1/2,-1/2,\sqrt2/2),
N=(\sqrt2/2,\sqrt2/2,0),
B=(-1/2,1/2,\sqrt2/2),
κ=\sqrt2/4,
τ=-\sqrt2/4.