Para cada uma das curvas alpha: R R^3 e beta: R R^3, determine, no instante t=0,
t mapsto(t, t^2, 2 t / 3) t mapsto(e^t, e^-t, raiz2 t)
o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.

Passo 1

O exercício pede que, para cada curva α e β, no instante t=0, obtenhamos o triedro de Frenet (T, N, B), a curvatura κ e a torção τ. O assunto é geometria diferencial de curvas e vamos usar derivadas até terceira ordem, norma de vetores, produto vetorial e as fórmulas de Frenet–Serret.

Passo 2

Dada uma curva r(t), definimos r'(t)=dot r, r''(t)=ddot r e r'''(t)=dddot r. As fórmulas são em bloco:
T=r'|r'|,
kappa=|r'times r''||r'|^3,
N=dT/dt|dT/dt|,
B=Ttimes N,
tau=(r'times r'')cdot r'''|r'times r''|^2

Passo 3

Para α: r(t)=(t,t^2,tfrac2t3). Então r'(t)=(1,2t,tfrac23), r''(t)=(0,2,0), r'''(t)=(0,0,0). Em t=0: r'(0)=(1,0,2/3) e |r'(0)|=raiz1+(2/3)^2=tfracraiz133.
O tangente unitário é em bloco:
T(0)=(1,0,2/3)raiz13/3=l(tfrac3raiz13,0,tfrac2raiz13r)
O produto vetorial em t=0 é
r'times r''=(1,0,2/3)times(0,2,0)=l(-tfrac43,0,2r),
com |r'times r''|=tfrac2raiz133, daí
kappa=2raiz13/3(raiz13/3)^3=1813

Passo 4

Calculando T'(t) e avaliando em t=0 obtemos T'(0)=(0,6/raiz13,0). Então
N(0)=(0,6/raiz13,0)|(0,6/raiz13,0)|=(0,1,0),
B(0)=T(0)times N(0)=l(-tfrac2raiz13,0,tfrac3raiz13r)
Como r'''(0)=0, segue tau(0)=0.

Passo 5

Para β: r(t)=(e^t,e^-t,raiz2,t). Temos r'(t)=(e^t,-e^-t,raiz2), r''(t)=(e^t,e^-t,0), r'''(t)=(e^t,-e^-t,0). Em t=0: r'(0)=(1,-1,raiz2), |r'(0)|=2.
O tangente unitário é
T(0)=(1,-1,raiz2)2=l(tfrac12,-tfrac12,tfracraiz22r)
O produto vetorial é
r'times r''=(1,-1,raiz2)times(1,1,0)=(-raiz2,raiz2,2),
com |r'times r''|=2raiz2. Logo
kappa=2raiz22^3=raiz24

Passo 6

Derivando T(t)=r'(t)/2 T'(0)=(1/2,1/2,0) com |T'(0)|=1/raiz2. Então
N(0)=(1/2,1/2,0)1/raiz2=l(tfracraiz22,tfracraiz22,0r),
B(0)=T(0)times N(0)=l(-tfrac12,tfrac12,tfracraiz22r)
O numerador da torção é
(r'times r'')cdot r'''=(-raiz2,raiz2,2)cdot(1,-1,0)=-2raiz2,
e |r'times r''|^2=8, logo
tau=-2raiz28=-tfracraiz24

Resposta

Para α em t=0:
T=\bigl(3/\sqrt{13},0,2/\sqrt{13}\bigr),
N=(0,1,0),
B=(-2/\sqrt{13},0,3/\sqrt{13}),
κ=18/13,
τ=0.
Para β em t=0:
T=(1/2,-1/2,\sqrt2/2),
N=(\sqrt2/2,\sqrt2/2,0),
B=(-1/2,1/2,\sqrt2/2),
κ=\sqrt2/4,
τ=-\sqrt2/4.

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