Determine c: R R^3 sabendo que: ve(t) equiv 1, B(t)=1 / raiz2(sen t,-cos t, 1), a torção é sempre negativa e c(0)=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma curva unitária c:RtoR^3 tal que a velocidade euclidiana seja ve(t)equiv1, o binormal seja B(t)=tfrac1raiz2(sin t, -cos t,1), a torção seja sempre negativa e c(0)=(0,0,0). O conteúdo que vamos usar é as fórmulas de Frenet–Serret para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco, além de produto vetorial e integração de vetores.

Passo 2

Para achar o vetor normal N(t) e a torção tau(t), calculamos a derivada de B(t):
B'(t)=1raiz2(cos t,,sin t,,0)
Como pela fórmula de Frenet–Serret temos B'(t)=-tau(t),N(t) e |N(t)|=1, segue
|B'(t)|=|tau(t)|=1raiz2
Como a torção é sempre negativa, tau(t)=-1/raiz2 e daí
N(t)= -B'(t)tau(t)=(cos t,,sin t,,0)

Passo 3

Agora encontramos o vetor tangente unitário T(t)=c'(t) usando T=Ntimes B. Fazendo o produto vetorial,
T(t)=N(t)times B(t)=1raiz2(sin t,,-cos t,,-1)
Verifique que |T(t)|=1, o que confirma que a curva é parametrizada pelo comprimento de arco.

Passo 4

Para obter c(t), integramos T(t):
integral T(t),dt=1raiz2integral(sin t,,-cos t,,-1),dt=1raiz2(-cos t,,-sin t,,-t)+C
Assim,
c(t)=l(-tfraccos traiz2,,-tfracsin traiz2,,-tfractraiz2r)+C

Passo 5

Impondo a condição inicial c(0)=(0,0,0), temos
c(0)=l(-tfrac1raiz2,0,0r)+C=(0,0,0) Rightarrow C=l(tfrac1raiz2,0,0r)
Substituindo em c(t) obtemos a expressão final da curva.

Resposta

c(t)=l(tfrac1-cos traiz2,,-tfracsin traiz2,,-tfractraiz2r), que satisfaz todas as condições do enunciado.

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