Determine
sabendo que:
, a torção é sempre negativa e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma curva unitária
tal que a velocidade euclidiana seja
, o binormal seja
, a torção seja sempre negativa e
. O conteúdo que vamos usar é as fórmulas de Frenet–Serret para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco, além de produto vetorial e integração de vetores.
Passo 2
Para achar o vetor normal
e a torção
, calculamos a derivada de
:
Como pela fórmula de Frenet–Serret temos
e
, segue
Como a torção é sempre negativa,
e daí
Passo 3
Agora encontramos o vetor tangente unitário
usando
. Fazendo o produto vetorial,
Verifique que
, o que confirma que a curva é parametrizada pelo comprimento de arco.
Passo 4
Para obter
, integramos
:
Assim,
Passo 5
Impondo a condição inicial
, temos
Substituindo em
obtemos a expressão final da curva.