Sejam P=(1,3,5) um ponto e A=(-2,1,1) um vetor do espaço. Determine a interseção da reta que passa por P e tem a direção de A, e o plano de equação 2 x+3 y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a reta que passa por P=(1,3,5) com direção A=(-2,1,1) e o plano de equação 2x+3y−z=1. O conteúdo aqui é interseção de reta e plano; vamos precisar expressar a reta em forma paramétrica, usar a equação do plano e descobrir para que parâmetro t o ponto da reta satisfaz o plano.

Passo 2

Para escrever a reta em forma paramétrica, usamos a representação vetorial r(t)=P+t,A. Substituindo P=(1,3,5) e A=(-2,1,1) obtemos:
x = 1 - 2t, y = 3 + t, z = 5 + t

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação do plano 2x+3y-z=1. Ficando:
2(1-2t) + 3(3+t) - (5+t) = 1

Passo 4

Ao desenvolver e coletar termos semelhantes, chega-se a 6 - 2t = 1, de onde t = tfrac52. Aqui usamos álgebra básica para simplificar e isolar t.

Passo 5

Substituindo t=tfrac52 nas paramétricas, encontramos:
x = 1 - 2cdottfrac52 = -4, y = 3 + tfrac52 = tfrac112, z = 5 + tfrac52 = tfrac152

Resposta

(-4,112,152)

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