Para cada um dos dados abaixo, resolver o sistema não homogêneo Y^prime(t)=A Y(t)+Q(t) sujeito à condição inicial dada.
A=[cc4 & 1 -2 & 1], Q(t)=[c0 -2 e^t], Y(0)=[l1 0].

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema não homogêneo
dot Y(t)=A,Y(t)+Q(t)
com
A=4&1-2&1, Q(t)=0-2e^t,
e condição inicial
Y(0)=10
O método consiste em: (i) achar a solução geral do sistema homogêneo dot Y=AY por autovalores e autovetores; (ii) obter uma solução particular de dot Y=AY+Q(t) por coeficientes indeterminados; (iii) combinar ambas e impor Y(0).

Passo 2

Resolvendo o homogêneo dot Y=AY: escrevemos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det4-lambda&1-2&1-lambda =(4-lambda)(1-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+6=0,
cujas raízes são lambda1=2 e lambda2=3.
Para lambda1=2,
(A-2I)v=0implies2&1-2&-1v=0 implies v1=1-2
Para lambda2=3,
(A-3I)v=0implies1&1-2&-2v=0 implies v2=1-1
Logo, a solução geral do homogêneo é
Yh(t)=C1e^2t1-2 + C2e^3t1-1

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
Então
Igualando em cada componente e dividindo por :
daí . Portanto

Passo 4

A solução geral do sistema é
Y(t)=Yh(t)+Yp(t) =C1e^2t1-2 + C2e^3t1-1 + e^t-13
Impondo Y(0)=(1,0)^T
C1+C2-1-2C1-C2+3 =10
ou seja
,C1+C2=2 e 2C1+C2=3.
Resolvendo, C1=1, C2=1.

Resposta

A solução do problema é
Y(t)= e^2t+e^3t-e^t[6pt] -2e^2t-e^3t+3e^t .]

Exercícios relacionados