Questão 2 Calcule integral triplaW raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2 e superiormente pela esfera x^2+y^2+(z-12)^2=14.

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
integral triplaWraizx^2+y^2+z^2;dx,dy,dz,
onde W é o sólido limitado abaixo pelo cone
z=raizx^2+y^2
e acima pela esfera
x^2+y^2+l(z-tfrac12r)^2=tfrac14
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, pois a integranda raizx^2+y^2+z^2 e as superfícies ficam simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi].
– O cone z=raizx^2+y^2 vira
rhocosphi=rhosinphi Longrightarrow phi=tfracpi4
– A esfera x^2+y^2+(z-tfrac12)^2=tfrac14
rho^2-rhocosphi=0 Longrightarrow rho=cosphi (rho>0)
Logo W corresponde a
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=tfracpi4, 0<=rho<=cosphi

Passo 3

Em esféricas a integranda é
raizx^2+y^2+z^2=rho
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta
Portanto a integral fica
integral triplaWraizx^2+y^2+z^2;dV =integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^cosphi rho;l(rho^2sinphir);drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^cosphi rho^3sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em rho:
integral0^cosphirho^3;drho =rho^44|0^cosphi =cos^4phi4
A integral reduz-se a
integral0^2pidtheta;integral0^pi/4 cos^4phi4,sinphi;dphi =2pi;14 integral0^pi/4cos^4phi,sinphi;dphi =pi2 integral0^pi/4cos^4phi,sinphi;dphi

Passo 5

Fazemos a substituição u=cosphi, du=-sinphi,dphi. Quando phi=0, u=1; quando phi=pi/4, u=tfracraiz22. Logo
integral0^pi/4cos^4phi,sinphi;dphi =integralu=1^u=raiz2/2u^4(-du) =integralraiz2/2^1u^4;du =u^55|raiz2/2^1 =15-(raiz2/2)^55
Como (raiz2/2)^5=4raiz232=raiz28, temos
integral0^pi/4cos^4phi,sinphi;dphi =15-raiz240 =8-raiz240
Multiplicando pelo fator tfracpi2 obtém-se
pi2,8-raiz240 =pi,(8-raiz2)80

Resposta

integral triplaWraizx^2+y^2+z^2;dx,dy,dz =pi,(8-raiz2)80

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