Questão 2 Calcule
, onde
é o sólido limitado inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera
.
Passo 1
O enunciado pede
Calcular
Calcular
onde
é o sólido limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, pois a integranda
e as superfícies ficam simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
,
.
– O cone vira
– O cone
– A esfera
dá
Logo
corresponde a
Passo 3
Em esféricas a integranda é
e o elemento de volume é
e o elemento de volume é
Portanto a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
A integral reduz-se a
Passo 5
Fazemos a substituição
u=cosphi ,
du=-sinphi,dphi . Quando
phi=0 ,
u=1 ; quando
phi=pi/4 ,
u=tfracraiz22 . Logo
Como
(raiz2/2)^5=4raiz232=raiz28 , temos
Multiplicando pelo fator
tfracpi2 obtém-se