Uma função hiperbólica é uma das seguintes funções: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica, secante hiperbólica, cossecante hiperbólica e cotangente hiperbólica. Essas funções são definidas
em termos das funções exponenciais e, portanto, suas derivadas se resumem na derivação de funções exponenciais:
senh(x)=e^x-e^-x2, cosh (x)=e^x+e^-x2
e as demais a partir destas. Assim, usando a regras de derivação, mostre que:
(Atenção: cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 )
[senh(x)]^prime=cosh (x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de senh(x), que por definição é
senh(x)=e^x-e^-x2
O conteúdo usado será a regra de derivação de soma, constante e exponencial:
tfracddxe^x=e^x e tfracddxe^-x=-e^-x.

Passo 2

Aplicamos a derivada à expressão de senh(x):
ddx!l[senh(x)r] =ddx!l[e^x-e^-x2r] =12l(ddxe^x-ddxe^-xr) =12l(e^x-(-e^-x)r)

Passo 3

Simplificando o resultado do passo anterior, obtemos
12l(e^x+e^-xr),
que é precisamente a definição de cosh(x). Portanto,
ddx!l[senh(x)r]=cosh(x)

Resposta

[senh(x)]'=cosh(x)

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