Para cada um dos dados abaixo, resolver o sistema não homogêneo Y^prime(t)=A Y(t)+Q(t) sujeito à condição inicial dada.
A=[cc-5 & -1 1 & -3], Q(t)=[c7 e^t-27 -3 e^t+12], Y(0)=[c-1007442 707221].

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema não homogêneo
Y'(t)=A,Y(t)+Q(t)
sujeito a
A=-5 & -1 [4pt] 1 & -3, Q(t)=7e^t-27[4pt]-3e^t+12, Y(0)=-tfrac1007442[4pt]tfrac707221
Vamos usar o método “solução geral = homogênea + particular por coeficientes a determinar”.]

Passo 2

Estudamos primeiro o homogêneo
Y'=A,Y
A matriz A tem traço -8 e determinante 16, logo o polinômio característico é
lambda^2+8lambda+16=0implieslambda=-4(mu<iplicidade 2)
Como A+4I é nilpotente de ordem 2, encontramos um autovetor v e um vetor generalizado w:
(A+4I)v=0implies v=1-1, (A+4I)w=vimplies w=-10
A solução fundamental é
Phi(t)=e^-4tl(I+t(A+4I)r),
de onde a solução geral do homogêneo é
Yh(t)=e^-4tl(c1,v+c2,(w+t,v)r)

Passo 3

Procuramos uma particular do tipo
Yp(t)=B,e^t+C,
pois
Q(t)=e^t7-3+-2712
Substituindo em Y'=A,Y+Q obtemos os sistemas
B,e^t=A,B,e^t+7-3e^t Longrightarrow (I-A)B=7-3,
0=A,C+-2712 Longrightarrow A,C=27-12
Resolvendo
I-A=6&1-1&4 Longrightarrow B=31/25[3pt]-11/25, C=-93/16[3pt]33/16 ]

Passo 4

A solução geral fica
Y(t)=Yp(t)+Yh(t) =underbrace31/25[3pt]-11/25e^t +-93/16[3pt]33/16Yp(t) +e^-4tl(c1,v+c2,(w+t,v)r)
Em t=0 isso dá
Y(0)=B+C+c1,v+c2,w =-1007/442[3pt]707/221,
o que leva ao sistema para c1,c2. Sua solução é
c1=-13937188400, c2=-171094420 ]

Passo 5

Substituindo c1,c2 em Y(t) e simplificando, obtemos
Y(t)= dfrac3125e^t-dfrac9316 +dfrac202809-342180,t88400,e^-4t [8pt] -dfrac1125e^t+dfrac3316 +dfrac139371+342180,t88400,e^-4t ]

Resposta

Y(t)= dfrac3125e^t-dfrac9316 +dfrac202809-342180,t88400,e^-4t [8pt] -dfrac1125e^t+dfrac3316 +dfrac139371+342180,t88400,e^-4t ]

Exercícios relacionados