(1,0 cada)4-Derive e escreva as derivadas na forma mais simples possivel:
f(x)=arctg x-1raiz3 arctg(raiz3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arctg(x);-;1raiz3;arctg(raiz3,x)
O conteúdo é derivada da função arco-tangente e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Derivada da primeira parcela arctg(x):
Sabemos que
ddxl[arctg(x)r] =11+x^2

Passo 3

Derivada da segunda parcela arctg(raiz3,x) com coeficiente -1/raiz3:
Pela regra da cadeia,
ddxl[arctg(raiz3,x)r] =raiz31+(raiz3,x)^2 =raiz31+3x^2
Multiplicando pelo coeficiente -1/raiz3 temos
-1raiz3cdotraiz31+3x^2 =-11+3x^2

Passo 4

Somando as derivadas e simplificando a diferença de frações:
f'(x) =11+x^2 -11+3x^2 =(1+3x^2)-(1+x^2)(1+x^2)(1+3x^2) =2x^2(1+x^2)(1+3x^2)

Resposta

f'(x)=2x^2(1+x^2)(1+3x^2)

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