Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=5 x+y d yd t=-2 x+3 y

Passo 1

O sistema é linear de coeficientes constantes. Se escrevermos
temos
Para resolver, vamos encontrar os autovalores de , depois os autovetores, e montar a solução geral.]

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) =det5-lambda & 1[3pt]-2 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)+2 =lambda^2-8lambda+17
As raízes são
lambda = 8pmraiz64-682 =4pm i
Logo os autovalores são complexos conjugados lambda1,2=4pm i.]

Passo 3

Vamos achar um autovetor para . Resolvendo
da primeira linha vem , então podemos escolher e
Assim um autovetor é
]

Passo 4

A solução complexa associada é
x(t) =e^(4+i)tv =e^4te^it1-1+i
Para obtermos a solução real, escrevemos
e^it1-1+i =e^it(-1+i)e^it =cos t + isin t[3pt] (-cos t-sin t)+i(cos t-sin t)
Chamando de Re e Im as partes real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes
Rel(e^itvr) =cos t-,cos t-sin t, Iml(e^itvr) =sin t;cos t-sin t ])

Passo 5

Assim a solução geral real é
isto é
onde e são constantes reais arbitrárias.

Resposta

x(t) = e^4tl(C1cos t + C2sin tr), y(t) = e^4tl[,( -C1 + C2)cos t +(-C1 - C2)sin tr]

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