Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left( lll4 & 1 & 0 0 & 4 & 1 0 & 0 & 4\right) X

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
X' = A,X, A = 4 & 1 & 0 0 & 4 & 1 0 & 0 & 4,
onde X(t) = l(x(t),y(t),z(t)r)^T.
Como A é triangular superior com único autovalor lambda=4, resolvemos em cascata: primeiro obtemos z(t), depois y(t) e por fim x(t).

Passo 2

Da terceira linha do sistema vem
z' = 4,z
Esta é uma EDO de coeficiente constante, cuja solução geral é
z(t) = k3,e^4t,
com k3 constante arbitrária.

Passo 3

Da segunda linha temos
y' = 4,y + z(t) = 4,y + k3,e^4t
Usamos fator integrante mu(t)=e^-4t, de modo que
ddtl(e^-4tyr) = k3
Integrando,
e^-4ty = k3,t + k2,
logo
y(t) = l(k2 + k3,tr),e^4t,
com k2 constante arbitrária.

Passo 4

Da primeira linha vem
x' = 4,x + y(t) = 4,x + l(k2 + k3,tr),e^4t
De novo com mu(t)=e^-4t,
ddtl(e^-4txr) = k2 + k3,t
Integrando,
e^-4tx = k1 + k2,t + k32,t^2,
portanto
x(t) = l(k1 + k2,t + tfrack32,t^2r),e^4t,
com k1 constante arbitrária.

Passo 5

Reunindo os três componentes, a solução geral pode ser escrita em forma vetorial como
X(t) = x(t)[6pt] y(t)[3pt] z(t) = k1 + k2,t + tfrack32,t^2[6pt] k2 + k3,t[3pt] k3 e^4t,
once k1,k2,k3 são constantes arbitrárias.]

Resposta

X(t) = k1 + k2,t + tfrack32,t^2[6pt] k2 + k3,t[3pt] k3 e^4t,
com k1,k2,k3inR.]

Exercícios relacionados