Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left(\right) X
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
onde X(t) = l(x(t),y(t),z(t)r)^T.
Como A é triangular superior com único autovalor lambda=4, resolvemos em cascata: primeiro obtemos z(t), depois y(t) e por fim x(t).
Passo 2
Da terceira linha do sistema vem
z' = 4,z
Esta é uma EDO de coeficiente constante, cuja solução geral é
z(t) = k3,e^4t,
com k3 constante arbitrária.
Passo 3
Da segunda linha temos
y' = 4,y + z(t) = 4,y + k3,e^4t
Usamos fator integrante mu(t)=e^-4t, de modo que
ddtl(e^-4tyr) = k3
Integrando,
e^-4ty = k3,t + k2,
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y(t) = l(k2 + k3,tr),e^4t,
com k2 constante arbitrária.
Passo 4
Da primeira linha vem
x' = 4,x + y(t) = 4,x + l(k2 + k3,tr),e^4t
De novo com mu(t)=e^-4t,
ddtl(e^-4txr) = k2 + k3,t
Integrando,
e^-4tx = k1 + k2,t + k32,t^2,
portanto
x(t) = l(k1 + k2,t + tfrack32,t^2r),e^4t,
com k1 constante arbitrária.
Passo 5
Reunindo os três componentes, a solução geral pode ser escrita em forma vetorial como