(2,0) 1 - Estude a continuidade da função:
f(x)=c x^2-8 se x<3 sen(x-3)x-3 se x>3 1 se x=3

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= x^2-8, & x<3, dfracsin(x-3)x-3, & x>3, 1, & x=3
Precisamos estudar a continuidade de f em todos os pontos, em particular em x=3. Usaremos propriedades de continuidade de funções elementares e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Para x<3 temos f(x)=x^2-8, que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo R. Para x>3 temos f(x)=dfracsin(x-3)x-3, que é contínua sempre que o denominador x-3neq0. Logo f é contínua em (-infty,3) e em (3,infty).

Passo 3

Calculamos o limite à esquerda em x=3:
limxto3^-f(x) =limxto3^-(x^2-8) =3^2-8 =1

Passo 4

Calculamos o limite à direita em x=3:
limxto3^+f(x) =limxto3^+sin(x-3)x-3 =1,
pois é o limite clássico limtto0sin tt=1 com t=x-3.

Passo 5

Vimos que
limxto3^-f(x) =limxto3^+f(x) =1
e que f(3)=1. Como o valor da função em 3 coincide com os dois limites laterais, f é contínua em x=3.

Resposta

A função f é contínua para todo xinR.

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