Precisamos estudar a continuidade de f em todos os pontos, em particular em x=3. Usaremos propriedades de continuidade de funções elementares e cálculo de limites laterais.
Passo 2
Para x<3 temos f(x)=x^2-8, que é um polinômio e, portanto, contínuo em todo R. Para x>3 temos f(x)=dfracsin(x-3)x-3, que é contínua sempre que o denominador x-3neq0. Logo f é contínua em (-infty,3) e em (3,infty).
Passo 3
Calculamos o limite à esquerda em x=3:
limxto3^-f(x) =limxto3^-(x^2-8) =3^2-8 =1
Passo 4
Calculamos o limite à direita em x=3:
limxto3^+f(x) =limxto3^+sin(x-3)x-3 =1,
pois é o limite clássico limtto0sin tt=1 com t=x-3.
Passo 5
Vimos que
limxto3^-f(x) =limxto3^+f(x) =1
e que f(3)=1. Como o valor da função em 3 coincide com os dois limites laterais, f é contínua em x=3.