(1,0 cada)4-Derive e escreva as derivadas na forma mais simples possivel:
f(x)=sen x cdot cos x cdot tg^3 xraizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=senxcdotcos xcdottan^3xraizx
Isso envolve produto de funções trigonométricas e uma potência de x, então vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica (que simplifica bastante) junto com as regras de derivada de sin, cos, tan e de potência.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para transformar produto em soma:
ln f(x)=lnl(sin xr)+lnl(cos xr)+3,lnl(tan xr)-tfrac12,ln x

Passo 3

Agora derivamos em x usando que ddxln u(x)=u'(x)u(x):
f'(x)f(x) =ddxln f(x) =underbracecot x(sin x)'/sin x +underbrace(-tan x)(cos x)'/cos x +underbrace3,sec^2 x3,(tan x)'/tan x -underbracetfrac12x(-tfrac12ln x)'

Passo 4

Isolando f'(x) obtemos
f'(x) = f(x),l(cot x - tan x + 3,sec^2 x - tfrac12xr)

Passo 5

Finalmente, substituindo f(x) de volta, a forma mais simples da derivada é
boxed f'(x) =sin x,cos x,tan^3xraizx ;l(cot x - tan x + 3,sec^2 x - tfrac12xr)

Resposta

f'(x) =sin x,cos x,tan^3xraizx l(cot x - tan x + 3,sec^2 x - tfrac12xr)

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