Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=2 x+y+2 z d yd t=3 x+6 z d zd t=-4 x-3 z

Passo 1

O sistema
dxdt=2x+y+2z,[6pt] dydt=3x+6z,[6pt] dzdt=-4x-3z
pode ser escrito em forma matricial dXdt=AX, onde X=(x,y,z)^T e
A= 2 & 1 & 2[4pt] 3 & 0 & 6[4pt] -4 & 0 & -3
O método para resolver é achar os autovalores de A e seus autovetores, formando uma base de soluções para o sistema.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
det 2-lambda & 1 & 2 3 & -lambda & 6 -4 & 0 & -3-lambda =-l(lambda^3+lambda^2-lambda+15r)=0
Testando raízes inteiras, achamos lambda1=-3. Dividindo o polinômio por lambda+3 obtemos a equação quadrática
lambda^2-2lambda+5=0,
cuja solução é
lambda2,3=1pm2i

Passo 3

Para
daqui . Tomando , um autovetor é

Passo 4

Para lambda=1+2i, achamos um autovetor complexo vc. Após resolver (A-(1+2i)I)vc=0 e separar em parte real alpha e imaginária beta, obtemos
alpha=(-2,0,2), beta=(-1,-3,0)
Dessa forma e^(1+2i)tvc gera duas soluções reais independentes:
X^(2)(t)=e^tl(alphacos2t-betasin2tr), X^(3)(t)=e^tl(alphasin2t+betacos2tr)

Passo 5

Reunindo as três soluções fundamentais, a solução geral é
X(t)=C1,e^-3t 0-21 +,C2,e^t -2cos2t+sin2t[3pt] 3sin2t[3pt] 2cos2t +,C3,e^t -cos2t-2sin2t[3pt] -3cos2t[3pt] 2sin2t ,
once C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.]

Resposta

x(t)=C2l(-2cos2t+sin2tr)e^t +,C3l(-cos2t-2sin2tr)e^t,[6pt] y(t)=-2C1,e^-3t +,3C2sin2t,e^t -,3C3cos2t,e^t,[6pt] z(t)=C1,e^-3t +,2C2cos2t,e^t +,2C3sin2t,e^t ]

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