Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
Passo 1
O sistema
pode ser escrito em forma matricial
dXdt=AX , onde
X=(x,y,z)^T e
O método para resolver é achar os autovalores de
A e seus autovetores, formando uma base de soluções para o sistema.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 .
Testando raízes inteiras, achamos
lambda1=-3 . Dividindo o polinômio por
lambda+3 obtemos a equação quadrática
cuja solução é
Passo 3
Para
daqui . Tomando
, um autovetor é
Passo 4
Para
lambda=1+2i , achamos um autovetor complexo
vc . Após resolver
(A-(1+2i)I)vc=0 e separar em parte real
alpha e imaginária
beta , obtemos
Dessa forma
e^(1+2i)tvc gera duas soluções reais independentes:
Passo 5
Reunindo as três soluções fundamentais, a solução geral é
once
C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.]