(1,0 cada)4-Derive e escreva as derivadas na forma mais simples possivel:
y=ln (raize^x-1raize^x+1) e^raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = ln!l(raize^x-1raize^x+1r),e^raizx
O conteúdo envolvido são regras de derivação: propriedades de logaritmo, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Use a propriedade ln(a/b)=ln a - ln b e combine com o fator e^raizx dentro do logaritmo:
y = ln!l(raize^x-1r) ;-;ln!l(raize^x+1r);+;ln!l(e^raizxr)
Em seguida note que ln(raizu)=tfrac12ln u e ln(e^raizx)=raizx, logo
y = tfrac12lnl(e^x-1r);-;tfrac12lnl(e^x+1r);+;raizx

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Para
tfrac12ln(e^x-1) aplicamos cadeia:
ddxl[tfrac12ln(e^x-1)r] = tfrac12cdote^x,e^x-1,
Para
tfrac12ln(e^x+1) temos
ddxl[tfrac12ln(e^x+1)r] = tfrac12cdote^x,e^x+1,
E para raizx=x^1/2 a derivada é
ddxl(raizxr)=12raizx

Passo 4

Juntando tudo com o sinal correto:
y' = tfrac12e^xe^x-1;-;tfrac12e^xe^x+1;+;12raizx
Para simplificar os dois primeiros termos, faça o mínimo múltiplo comum:
tfrac12e^xl(1e^x-1-1e^x+1r) = e^x2,(e^x+1)-(e^x-1)(e^x-1)(e^x+1) = e^xe^2x-1
Logo a forma final mais simples é
y' = e^xe^2x-1 ;+;12raizx

Resposta

y' = e^xe^2x-1 ;+;12raizx

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