Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes
O conteúdo é sistema
. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para obter a solução em termos de exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
A ideia é achar os autovalores
de
resolvendo
.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico:
As raízes são
Passo 4
Como os autovalores são complexos conjugados
, uma única solução complexa gera duas reais linearmente independentes. Tomemos
e resolvemos
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem
Escolhendo
, obtemos
Passo 5
Uma solução complexa do sistema é
Escrevendo
e multiplicando por
, temos
Como
extraímos as partes real e imaginária para formar duas soluções reais:
Passo 6
Por serem independentes, a solução geral é combinação linear dessas:
ou em componentes
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
C1 e
C2 são constantes arbitrárias.