Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=4 x+5 y d yd t=-2 x+6 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes
dxdt=4x+5y, dydt=-2x+6y
O conteúdo é sistema X' = A X. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para obter a solução em termos de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial
A ideia é achar os autovalores de resolvendo .

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
det!4-lambda&5-2&6-lambda =(4-lambda)(6-lambda)+10 =lambda^2-10lambda+34
As raízes são
lambda=10pmraiz100-1362 =5pm3i

Passo 4

Como os autovalores são complexos conjugados 5pm3i, uma única solução complexa gera duas reais linearmente independentes. Tomemos lambda=5+3i e resolvemos
(A-(5+3i)I)v=0
Isso dá o sistema
(-1-3i)v1+5v2=0, -2v1+(1-3i)v2=0
Da primeira equação vem
v1=51+3iv2 =5(1-3i)10,v2 =1-3i2v2
Escolhendo v2=2, obtemos
v=1-3i2

Passo 5

Uma solução complexa do sistema é
X(t)=e^(5+3i)tv
Escrevendo e^(5+3i)t=e^5t(cos3t+isin3t) e multiplicando por v, temos
e^(5+3i)tv =e^5t (1-3i)(cos3t+isin3t) 2(cos3t+isin3t)
Como
(1-3i)(cos3t+isin3t) =cos3t+3sin3t +i(sin3t-3cos3t),
extraímos as partes real e imaginária para formar duas soluções reais:
X1(t) =e^5t cos3t+3sin3t 2cos3t , X2(t) =e^5t sin3t-3cos3t 2sin3t

Passo 6

Por serem independentes, a solução geral é combinação linear dessas:
X(t) =C1 X1(t)+C2 X2(t),
ou em componentes
x(t)=e^5tl[C1(cos3t+3sin3t)+C2(sin3t-3cos3t)r],
y(t)=e^5tl[2C1cos3t+2C2sin3tr]

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=e^5tl[C1(cos3t+3sin3t)+C2(sin3t-3cos3t)r], y(t)=e^5tl[2C1cos3t+2C2sin3tr],
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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