(1,0 cada)4-Derive e escreva as derivadas na forma mais simples possivel:
x raiz1+2 y+y=x^2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
xraiz1+2y+y = x^2
e pede as derivadas de y em função de x. O conteúdo utilizado será diferenciação implícita, regra do produto, regra da cadeia e, depois, regra do quociente para obter a segunda derivada.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl[xraiz1+2yr] + ddx[y] = ddx[x^2]
Pela regra do produto e da cadeia,
ddx[xraiz1+2y] = 1cdotraiz1+2y + xcdot12(1+2y)^-1/2cdot2y' = raiz1+2y + xraiz1+2y,y'
E
ddx[y]=y', ddx[x^2]=2x
Logo a equação diferenciada é
raiz1+2y + xraiz1+2y,y' + y' = 2x

Passo 3

Agrupando os termos com y',
l(xraiz1+2y + 1r)y' = 2x - raiz1+2y
Logo
y' = 2x - raiz1+2yxraiz1+2y + 1 ;undersettimesraiz1+2yLongrightarrow; y' = 2xraiz1+2y - (1+2y),x + raiz1+2y,

Passo 4

Para obter y'', usamos regra do quociente em
y' = ND, N = 2xraiz1+2y - (1+2y), D = x + raiz1+2y
Calculamos
N' = 2raiz1+2y + l(2xraiz1+2y - 2r)y', D' = 1 + y'raiz1+2y
Então
y'' = N',D ;-; N,D'D^2
Substituindo N,,D,,N',,D' e o valor de y' obtido no passo anterior, obtemos a expressão da segunda derivada.

Resposta

y' = 2xraiz1+2y - (1+2y)x + raiz1+2y
y'' = l[2raiz1+2y + l(2xraiz1+2y-2r),y'r](x+raiz1+2y) -l(2xraiz1+2y-(1+2y)r)l[1+y'raiz1+2yr](x+raiz1+2y)^2,
onde
y' = 2xraiz1+2y - (1+2y)x + raiz1+2y

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