Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left(
\right) X
X^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear autônomo
onde
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por exponencial de matriz, e vamos usar polinômio característico, propriedade de que
é múltiplo da identidade e a série de Taylor de
.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
. Como
vem
Logo os autovalores são
Passo 3
Observamos que
isto é,
. Da expansão em série de Taylor
agrupando termos pares e ímpares e usando
, obtém-se
Passo 4
A solução geral do sistema é
onde
é o vetor de constantes arbitrárias. Substituindo
temos
Em forma componente a componente, se denotarmos
, então
]
Resposta
A solução geral é
ou, explicitamente,
com
constantes arbitrárias.]