Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left( ll4 & -5 5 & -4\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear autônomo
X' = A,X,
onde
A = 4 & -5[6pt]5 & -4
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por exponencial de matriz, e vamos usar polinômio característico, propriedade de que A^2 é múltiplo da identidade e a série de Taylor de e^At.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como
trA = 4 + (-4) = 0, det A = 4cdot(-4) - (-5)cdot5 = -16 + 25 = 9,
vem
chiA(lambda) = det(lambda I - A) = lambda^2 - (trA),lambda + det A = lambda^2 + 9
Logo os autovalores são
lambda = pm 3,i

Passo 3

Observamos que
A^2 = 4 & -55 & -4^2 = -9 & 00 & -9 = -9,I,
isto é, A^2+9I=0. Da expansão em série de Taylor
e^At = sumk=0^infty(At)^kk!,
agrupando termos pares e ímpares e usando A^2=-9I, obtém-se
e^At = Icos(3t) + A3,sin(3t)

Passo 4

A solução geral do sistema é
onde é o vetor de constantes arbitrárias. Substituindo temos
Em forma componente a componente, se denotarmos , então
]

Resposta

A solução geral é
ou, explicitamente,
com constantes arbitrárias.]

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