Cada desigualdade representa um intervalo ou união de intervalos na reta real. Resolva a inequação, identifique o(s) intervalo(s) e represente geometricamente.
1 <=|x| <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação: 1 <= |x| <= 4. Aqui, estamos trabalhando com valores absolutos, que é parte da matemática de funções e inequações. Para resolver, vamos dividir a questão em partes e entender o que cada parte significa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ |x| \geq 1 $. O valor absoluto de |x| >= 1 representa a distância de x até zero na reta numérica. Então, $ |x| \geq 1 $ quer dizer que x está a pelo menos 1 unidade de distância de zero. Isso se traduz em duas situações: $ x \leq -1 $ ou $ x \geq 1 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da inequação: $ |x| \leq 4 $. Isso significa que a distância de |x| <= 4 até zero é no máximo 4. Logo, x está entre -4 e 4 na reta numérica, ou seja, $ -4 \leq x \leq 4 $.

Passo 4

Para resolver a inequação completa 1 <= |x| <= 4, precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, combinamos as duas situações:
  1. $ x \leq -1 $ e $ -4 \leq x \leq 4 $ resulta em $ -4 \leq x \leq -1 $.
  2. $ x \geq 1 $ e $ -4 \leq x \leq 4 $ resulta em $ 1 \leq x \leq 4 $.

Passo 5

Portanto, os intervalos que satisfazem a inequação são $ -4 \leq x \leq -1 $ e $ 1 \leq x \leq 4 $. Na reta numérica, isso se representa como dois segmentos fechados: um de -4 até -1 e outro de 1 até 4.

Resposta

Os intervalos que resolvem a inequação são $ -4 \leq x \leq -1 $ e $ 1 \leq x \leq 4 $.

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