Escreva uma integral tripla iterada para a integral de
sobre a região no primeiro octante limitada pelo cone
, o cilindro
, e os planos de coordenadas em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla iterada de f(x,y,z)=6+4 sobre a região R no primeiro octante limitada pelo cone z=√(x²+y²), pelo cilindro x²+y²=1 e pelos planos coordenados, usando coordenadas esféricas. Vamos usar transformação para coordenadas esféricas e determinar os limites.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as relações
A função f(x,y,z)=6+4 é constante, vale 10.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, o ângulo azimutal θ varia de 0 a π/2.
A superfície do cone z=√(x²+y²) em esféricas satisfaz ρ\cosφ=ρ\sinφ ⇒ tanφ=1 ⇒ φ=π/4. A região está abaixo desse cone (entre ele e o plano xy), então φ vai de π/4 a π/2.
A superfície do cone z=√(x²+y²) em esféricas satisfaz ρ\cosφ=ρ\sinφ ⇒ tanφ=1 ⇒ φ=π/4. A região está abaixo desse cone (entre ele e o plano xy), então φ vai de π/4 a π/2.
Passo 4
O cilindro x²+y²=1 em esféricas é ρ²\sin²φ=1 ⇒ ρ=1/\sinφ. Para cada (φ,θ), ρ varia de 0 até esse valor.
Passo 5
Portanto, a integral tripla em coordenadas esféricas fica:
Resposta
$$\n\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{\phi=\pi/4}{\pi/2}\int_{\rho=0}{1/\sin\phi}10,\rho{2},\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta
$$