Escreva uma integral tripla iterada para a integral de f(x, y, z)=6+4 sobre a região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, o cilindro x^2+y^2=1, e os planos de coordenadas em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla iterada de f(x,y,z)=6+4 sobre a região R no primeiro octante limitada pelo cone z=√(x²+y²), pelo cilindro x²+y²=1 e pelos planos coordenados, usando coordenadas esféricas. Vamos usar transformação para coordenadas esféricas e determinar os limites.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ, e o e<=mento de volume dV=ρ²sinφ,dρ,dφ,dθ ²
A função f(x,y,z)=6+4 é constante, vale 10.

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, o ângulo azimutal θ varia de 0 a π/2.
A superfície do cone z=√(x²+y²) em esféricas satisfaz ρ\cosφ=ρ\sinφ ⇒ tanφ=1 ⇒ φ=π/4. A região está abaixo desse cone (entre ele e o plano xy), então φ vai de π/4 a π/2.

Passo 4

O cilindro x²+y²=1 em esféricas é ρ²\sin²φ=1 ⇒ ρ=1/\sinφ. Para cada (φ,θ), ρ varia de 0 até esse valor.

Passo 5

Portanto, a integral tripla em coordenadas esféricas fica:
integralθ=0^pi/2integralφ=pi/4^pi/2integralρ=0^1/sinφ10,ρ^2,sinφ,dρ,dφ,dθ

Resposta

$$\n\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{\phi=\pi/4}{\pi/2}\int_{\rho=0}{1/\sin\phi}10,\rho{2},\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta
$$

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