Cada um desses problemas de valor extremo tem uma solução tanto com valor máximo quanto com valor mínimo. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=e^{2 y} ; \quad x^{3}+y^{3}=16

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos extremos de
f(x,y)=e^{2y}
sujeita à restrição
g(x,y)=x^3+y^3-16=0.
O conteúdo é otimização com restrição. Vamos montar a função Lagrange \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y) e resolver \nabla\mathcal{L}=0.

Passo 2

Escrevendo as derivadas parciais de \mathcal{L}:
\mathcal{L}_x = f_x - \lambda\,g_x = 0 - \lambda\cdot 3x^2 = -3\lambda x^2 = 0,
\mathcal{L}_y = f_y - \lambda\,g_y = 2e^{2y} - \lambda\cdot 3y^2 = 0,
\mathcal{L}_\lambda = -(x^3+y^3-16)=0.

Passo 3

Da equação -3\lambda x^2=0 temos duas possibilidades:
  • x\neq0 e então \lambda=0, o que faria 2e^{2y}=0 (impossível);
  • x=0.
Logo x=0. Usando na restrição
0^3+y^3=16 \quad\Longrightarrow\quad y^3=16 \quad\Longrightarrow\quad y=16^{1/3}=2^{4/3}.
Agora determinamos \lambda pela segunda equação, mas não precisamos do valor exato para classificar o ponto. O ponto crítico é (x,y)=(0,2^{4/3}).

Passo 4

Para classificar: parametrize a curva pela variável, por exemplo x, e observe que comprimento de subida/descida de f muda de sinal de forma que, saindo de x=0 para qualquer x\neq0, f diminui. Assim (0,2^{4/3}) é um ponto de máximo relativo. Como a restrição é aberta (sem limites finitos em x,y), não existe mínimo global (o valor de f tende a 0 para y\to-\infty e tende a +\infty para y\to+\infty).

Resposta

O único ponto crítico dado pelos multiplicadores é
(x,y)=(0,2^{4/3}),
em que f atinge um máximo relativo
f(0,2^{4/3})=e^{2\cdot 2^{4/3}}.
Não há mínimo sobre a curva x^3+y^3=16.

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