Cada um desses problemas de valor extremo tem uma solução tanto com valor máximo quanto com valor mínimo. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos extremos de
sujeita à restrição
O conteúdo é otimização com restrição. Vamos montar a função Lagrange
e resolver
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas parciais de
:
Passo 3
Da equação
temos duas possibilidades:
-
e então , o que faria (impossível); -
.
Logo
. Usando na restrição
Agora determinamos
pela segunda equação, mas não precisamos do valor exato para classificar o ponto. O ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar: parametrize a curva pela variável, por exemplo
, e observe que comprimento de subida/descida de
muda de sinal de forma que, saindo de
para qualquer
,
diminui. Assim
é um ponto de máximo relativo. Como a restrição é aberta (sem limites finitos em
), não existe mínimo global (o valor de
tende a
para
e tende a
para
).
Resposta
O único ponto crítico dado pelos multiplicadores é
em que
atinge um máximo relativo
Não há mínimo sobre a curva
.