Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por
com
, e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal
com
ou vertical
com
. Vamos precisar calcular
,
e impor essas condições.
Passo 2
Calculemos as derivadas em função de
. Defina
.
Passo 3
Para ter reta tangente horizontal precisamos de
A condição
dá
Os valores de
em
que satisfazem essa equação (e para os quais
) dão os pontos de tangente horizontal. Cada solução
gera o ponto
Passo 4
Para reta tangente vertical precisamos de
A condição
dá
Cada solução
dessa equação em
(com
) gera o ponto
Resposta
Os pontos de tangente horizontal são aqueles
com
em
resolvendo
e os de tangente vertical são os que resolvem
substituindo depois em
.