Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
x=\operatorname{sen}(8 t / 5) \cos t \quad y=\operatorname{sen}(8 t / 5) \operatorname{sen} t \quad 0 \leqslant t \leqslant 10 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x(t)=\sin\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\cos t,\quad y(t)=\sin\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\sin t,
com 0\le t\le10\pi, e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal \tfrac{dy}{dx}=0 com \tfrac{dx}{dt}\neq0 ou vertical \tfrac{dx}{dt}=0 com \tfrac{dy}{dt}\neq0. Vamos precisar calcular \tfrac{dx}{dt}, \tfrac{dy}{dt} e impor essas condições.

Passo 2

Calculemos as derivadas em função de t. Defina a=\tfrac{8t}{5}.
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl[\sin(a)\cos t\Bigr] =\cos(a)\cdot\frac{da}{dt}\,\cos t -\sin(a)\,\sin t =\frac{8}{5}\cos(a)\cos t-\sin(a)\sin t,
\frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl[\sin(a)\sin t\Bigr] =\cos(a)\cdot\frac{da}{dt}\,\sin t +\sin(a)\,\cos t =\frac{8}{5}\cos(a)\sin t+\sin(a)\cos t.

Passo 3

Para ter reta tangente horizontal precisamos de
\frac{dy}{dt}=0 \quad\text{e}\quad \frac{dx}{dt}\neq0.
A condição \tfrac{dy}{dt}=0
\frac{8}{5}\cos\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\sin t +\sin\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\cos t=0 \;\Longrightarrow\; \tan t =-\frac{5}{8}\,\tan\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr).
Os valores de t em [0,10\pi] que satisfazem essa equação (e para os quais \tfrac{dx}{dt}\neq0) dão os pontos de tangente horizontal. Cada solução t_k gera o ponto
\bigl(x(t_k),y(t_k)\bigr) =\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{8t_k}{5}\bigr)\cos t_k,\; \sin\!\bigl(\tfrac{8t_k}{5}\bigr)\sin t_k\Bigr).

Passo 4

Para reta tangente vertical precisamos de
\frac{dx}{dt}=0 \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dt}\neq0.
A condição \tfrac{dx}{dt}=0
\frac{8}{5}\cos\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\cos t -\sin\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr)\sin t=0 \;\Longrightarrow\; \tan t =\frac{8}{5}\,\cot\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr).
Cada solução t_m dessa equação em [0,10\pi] (com \tfrac{dy}{dt}\neq0) gera o ponto
\bigl(x(t_m),y(t_m)\bigr) =\Bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{8t_m}{5}\bigr)\cos t_m,\; \sin\!\bigl(\tfrac{8t_m}{5}\bigr)\sin t_m\Bigr).

Resposta

Os pontos de tangente horizontal são aqueles \bigl(x(t),y(t)\bigr) com t em [0,10\pi] resolvendo
\tan t=-\tfrac{5}{8}\tan\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr), \quad \frac{dx}{dt}\neq0,
e os de tangente vertical são os que resolvem
\tan t=\tfrac{8}{5}\cot\!\bigl(\tfrac{8t}{5}\bigr), \quad \frac{dy}{dt}\neq0,
substituindo depois em \bigl(\sin(\tfrac{8t}{5})\cos t,\;\sin(\tfrac{8t}{5})\sin t\bigr).

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