Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
r=e^{a n}, \pi \leqslant \theta \leqslant 2 \pi

Passo 1

O enunciado nos dá a curva polar r=e^{a\theta} e pede a área da região limitada por essa curva no setor \pi\le\theta\le2\pi. O conteúdo envolvido é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=\frac12\int r^2\,d\theta.

Passo 2

Aplicamos diretamente a fórmula de área em coordenadas polares ao nosso caso:
A =\frac12\int_{\pi}^{2\pi}\bigl(e^{a\theta}\bigr)^2\,d\theta =\frac12\int_{\pi}^{2\pi}e^{2a\theta}\,d\theta.

Passo 3

Para avaliar a integral, usamos
\int e^{2a\theta}\,d\theta =\frac{1}{2a}e^{2a\theta}.
Logo,
\int_{\pi}^{2\pi}e^{2a\theta}\,d\theta =\frac{1}{2a}\Bigl(e^{4\pi a}-e^{2\pi a}\Bigr).

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão de A:
A =\frac12\cdot\frac{1}{2a}\Bigl(e^{4\pi a}-e^{2\pi a}\Bigr) =\frac{1}{4a}\Bigl(e^{4\pi a}-e^{2\pi a}\Bigr).

Resposta

A = \frac{1}{4a}\Bigl(e^{4\pi a}-e^{2\pi a}\Bigr).

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