Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
b) Distribuição binomial de parâmetros
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b) Distribuição binomial de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma questão sobre a distribuição binomial. Precisamos escrever a função de probabilidade, identificar o suporte, calcular a esperança e a variância, além de identificar os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada para modelar o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade p de sucesso. Por exemplo, quantas vezes você vai conseguir dar cara ao lançar uma moeda 10 vezes.
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Aqui, $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
Agora, vamos identificar o suporte da distribuição binomial. O suporte é o conjunto de valores que a variável aleatória pode assumir. No caso binomial, $ X $ representa o número de sucessos e pode variar de 0 a n. Então:
Passo 4
Vamos calcular a esperança (ou valor esperado) da distribuição binomial. A esperança nos dá uma ideia de qual é o valor médio que esperamos obter. Para a binomial, a fórmula é:
Explicação: Multiplicamos o número de tentativas n pela probabilidade de sucesso p em cada tentativa.
Agora, a variância nos indica a dispersão dos valores em torno da esperança. Para a binomial:
Explicação: Além de n e p, a variância também depende da probabilidade de fracasso, que é $ 1 - p $.
Passo 5
Vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial e seu espaço paramétrico.
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Parâmetros: São n (número de tentativas) e p (probabilidade de sucesso em cada tentativa).
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Espaço Paramétrico: São os valores possíveis para os parâmetros. Para a binomial:
- $ n $ é um número inteiro positivo, ou seja, $ n \in \mathbb{N} $
- $ p $ é uma probabilidade, então $ 0 < p < 1 $
Resposta
Resumindo, para a distribuição binomial com parâmetros n e p:
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Função de Probabilidade:
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Suporte: $ {0, 1, 2, \dots, n} $
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Esperança: $ E(X) = n \cdot p $
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Variância: $ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) $
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Parâmetros: n (número de tentativas) e p (probabilidade de sucesso)
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Espaço Paramétrico: $ n \in \mathbb{N} $ e $ 0 < p < 1 $