Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
e) Distribuição gama de parâmetros
e
.
e) Distribuição gama de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com a distribuição gama que tem dois parâmetros:
e
. Precisamos escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte (ou seja, onde a distribuição “vive”), calcular a esperança (que é como a média), a variância, e também identificar quais são os parâmetros e o espaço paramétrico (as possíveis combinações de valores para
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição gama. Ela é uma distribuição contínua usada muito em estatística e probabilidade, especialmente para modelar tempos de espera ou processos que envolvem somas de variáveis aleatórias exponenciais.
A função de densidade de probabilidade (FDP) da distribuição gama é dada por:
onde:
-
, -
é o parâmetro de forma, -
é o parâmetro de taxa, -
é a função gama, que generaliza o fatorial.
Passo 3
Agora, vamos identificar o suporte da distribuição. O suporte é o conjunto de valores que a variável aleatória
pode assumir com probabilidade maior que zero. Na distribuição gama,
pode ser qualquer número real positivo, então:
Suporte:
Passo 4
Vamos calcular a esperança da distribuição gama. A esperança é como a média esperada da distribuição, e para a gama ela é dada por:
Isso significa que, em média, o valor esperado de
é o quociente entre
e
.
Passo 5
Agora, a variância da distribuição gama. A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Para a distribuição gama, a variância é:
Então, a variância depende diretamente de
e inversamente do quadrado de
.
Passo 6
Vamos identificar os parâmetros da distribuição gama. Os parâmetros são os valores que definem a forma e a escala da distribuição.
-
(alfa): parâmetro de forma -
(beta): parâmetro de taxa
E o espaço paramétrico são os possíveis valores que esses parâmetros podem assumir. Para a distribuição gama, tanto
quanto
devem ser maiores que zero:
Espaço Paramétrico:
Resposta
A função de densidade de probabilidade da distribuição gama com parâmetros
e
é:
- Suporte:
- Esperança:
- Variância:
- Parâmetros:
(parâmetro de forma) e (parâmetro de taxa) - Espaço Paramétrico:
e