Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
e) Distribuição gama de parâmetros alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com a distribuição gama que tem dois parâmetros: alpha e beta. Precisamos escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte (ou seja, onde a distribuição “vive”), calcular a esperança (que é como a média), a variância, e também identificar quais são os parâmetros e o espaço paramétrico (as possíveis combinações de valores para alpha e beta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição gama. Ela é uma distribuição contínua usada muito em estatística e probabilidade, especialmente para modelar tempos de espera ou processos que envolvem somas de variáveis aleatórias exponenciais.
A função de densidade de probabilidade (FDP) da distribuição gama é dada por:
f(x; alpha, beta) = beta^alphaGamma(alpha) x^alpha - 1 e^-beta x
onde:
  • x > 0,
  • alpha > 0 é o parâmetro de forma,
  • beta > 0 é o parâmetro de taxa,
  • Gamma(alpha) é a função gama, que generaliza o fatorial.

Passo 3

Agora, vamos identificar o suporte da distribuição. O suporte é o conjunto de valores que a variável aleatória X pode assumir com probabilidade maior que zero. Na distribuição gama, X pode ser qualquer número real positivo, então:
Suporte: x > 0

Passo 4

Vamos calcular a esperança da distribuição gama. A esperança é como a média esperada da distribuição, e para a gama ela é dada por:
E[X] = alphabeta
Isso significa que, em média, o valor esperado de X é o quociente entre alpha e beta.

Passo 5

Agora, a variância da distribuição gama. A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Para a distribuição gama, a variância é:
Var(X) = alphabeta^2
Então, a variância depende diretamente de alpha e inversamente do quadrado de beta.

Passo 6

Vamos identificar os parâmetros da distribuição gama. Os parâmetros são os valores que definem a forma e a escala da distribuição.
  • alpha (alfa): parâmetro de forma
  • beta (beta): parâmetro de taxa
E o espaço paramétrico são os possíveis valores que esses parâmetros podem assumir. Para a distribuição gama, tanto alpha quanto beta devem ser maiores que zero:
Espaço Paramétrico:
  • alpha > 0
  • beta > 0

Resposta

A função de densidade de probabilidade da distribuição gama com parâmetros alpha e beta é:
f(x; alpha, beta) = beta^alphaGamma(alpha) x^alpha - 1 e^-beta x, x > 0
  • Suporte: x > 0
  • Esperança: E[X] = alphabeta
  • Variância: Var(X) = alphabeta^2
  • Parâmetros: alpha (parâmetro de forma) e beta (parâmetro de taxa)
  • Espaço Paramétrico: alpha > 0 e beta > 0

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