Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
d) Distribuição normal de parâmetros
e
.
d) Distribuição normal de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão sobre a distribuição normal com parâmetros
e
. A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte, calcular a esperança, a variância, além de listar os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente sobre distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de densidade de probabilidade da distribuição normal. A distribuição normal é famosa por ter a forma de sino e é totalmente caracterizada pelos parâmetros
(média) e
(variância). A fórmula é:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, e
é a constante matemática pi.
Passo 3
Agora, vamos identificar o suporte da distribuição normal. O suporte é o conjunto de todos os valores que a variável aleatória
pode assumir onde a função de densidade é positiva. Para a normal, isso é:
Ou seja,
pode ser qualquer número real, de menos infinito a mais infinito.
Passo 4
Vamos calcular a esperança, que é o valor médio esperado da distribuição. Para a normal, a esperança é simplesmente o parâmetro
:
Isso significa que a média dos valores de
está centrada em
.
Passo 5
A variância mede a dispersão dos valores em relação à média. Na distribuição normal, a variância é o parâmetro
:
Quanto maior for
, mais espalhados estarão os valores de
em relação à média
.
Passo 6
Vamos identificar os parâmetros da distribuição normal. São eles:
-
: a média, que centraliza a distribuição. -
: a variância, que controla a largura da distribuição.
Passo 7
Por fim, o espaço paramétrico são os valores que os parâmetros podem assumir. Para a normal:
-
(qualquer número real) -
(a variância deve ser positiva)
Resposta
Distribuição Normal com parâmetros
e
-
Função de Densidade de Probabilidade:
-
Suporte:
-
Esperança:
-
Variância:
-
Parâmetros:
-
(média) -
(variância)
-
-
Espaço Paramétrico: