Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
d) Distribuição normal de parâmetros mu e sigma^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão sobre a distribuição normal com parâmetros mu e sigma^2. A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte, calcular a esperança, a variância, além de listar os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente sobre distribuições contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de densidade de probabilidade da distribuição normal. A distribuição normal é famosa por ter a forma de sino e é totalmente caracterizada pelos parâmetros mu (média) e sigma^2 (variância). A fórmula é:
f(x) = 1sigma raiz2pi e^ -(x - mu)^22sigma^2
Aqui, e é a base do logaritmo natural, e pi é a constante matemática pi.

Passo 3

Agora, vamos identificar o suporte da distribuição normal. O suporte é o conjunto de todos os valores que a variável aleatória X pode assumir onde a função de densidade é positiva. Para a normal, isso é:
Suporte: x in R
Ou seja, X pode ser qualquer número real, de menos infinito a mais infinito.

Passo 4

Vamos calcular a esperança, que é o valor médio esperado da distribuição. Para a normal, a esperança é simplesmente o parâmetro mu:
E(X) = mu
Isso significa que a média dos valores de X está centrada em mu.

Passo 5

A variância mede a dispersão dos valores em relação à média. Na distribuição normal, a variância é o parâmetro sigma^2:
Var(X) = sigma^2
Quanto maior for sigma^2, mais espalhados estarão os valores de X em relação à média mu.

Passo 6

Vamos identificar os parâmetros da distribuição normal. São eles:
  • mu: a média, que centraliza a distribuição.
  • sigma^2: a variância, que controla a largura da distribuição.

Passo 7

Por fim, o espaço paramétrico são os valores que os parâmetros podem assumir. Para a normal:
  • mu in R (qualquer número real)
  • sigma^2 > 0 (a variância deve ser positiva)

Resposta

Distribuição Normal com parâmetros mu e sigma^2
  • Função de Densidade de Probabilidade:
    f(x) = 1sigma raiz2pi e^ -(x - mu)^22sigma^2
  • Suporte:
    x in R
  • Esperança:
    E(X) = mu
  • Variância:
    Var(X) = sigma^2
  • Parâmetros:
    • mu (média)
    • sigma^2 (variância)
  • Espaço Paramétrico:
    mu in R, sigma^2 > 0

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