Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
f) Distribuição uniforme de parâmetros
e
.
f) Distribuição uniforme de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com a Distribuição Uniforme que tem dois parâmetros, $ a $ e $ b $. Nosso objetivo é escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte (ou intervalo onde a distribuição está definida), calcular a esperança (valor esperado), a variância, além de identificar os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição uniforme e como calcular essas características básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função de densidade de probabilidade da distribuição uniforme contínua. Essa distribuição é chamada “uniforme” porque todos os valores dentro do intervalo
têm a mesma probabilidade de ocorrer. A função de densidade é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar o suporte da distribuição uniforme. O suporte é o intervalo de valores que a variável aleatória $ X $ pode assumir com probabilidade maior que zero. No caso da distribuição uniforme, o suporte é o próprio intervalo
. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular a esperança (ou valor esperado) da distribuição uniforme. A esperança nos dá a média dos valores que a variável aleatória pode assumir. Para a distribuição uniforme, a esperança é dada por:
Isso significa que o valor esperado está exatamente no meio do intervalo
.
Passo 5
Agora, a variância, que mede a dispersão dos valores em relação à média. Para a distribuição uniforme, a variância é calculada por:
Isso nos mostra quão espalhados estão os valores em torno da média.
Passo 6
Por fim, vamos identificar os parâmetros e o espaço paramétrico da distribuição uniforme. Os parâmetros são $ a $ e $ b $, que definem o intervalo da distribuição. O espaço paramétrico são os possíveis valores que esses parâmetros podem assumir, que nesse caso é:
Resposta
Função de Densidade de Probabilidade:
Suporte:
Esperança: $ E(X) = \frac{a + b}{2} $
Variância: $ Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $
Parâmetros: $ a $ e $ b $
Espaço Paramétrico: $ a < b, \quad a, b \in \mathbb{R} $