Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de Euler-Cauchy: , encontrando duas soluções linearmente independentes e a solução geral. Vamos usar o método de tentar uma solução do tipo , que reduz a EDO a uma equação algébrica em .
Passo 2
Assumimos . Então
Passo 3
Substituindo na EDO:
Passo 4
Simplificando each termo com :
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Passo 6
Logo temos raiz dupla . Para uma raiz dupla numa equação de Euler, as soluções são
Passo 7
Calculamos o Wronskiano para mostrar independência linear:
Passo 8
Como o Wronskiano é não nulo, y1 e y2 são linearmente independentes. Logo a solução geral é dada por combinação linear dessas duas soluções.