Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler-Cauchy: t^2y''+5t,y'+4y=0, encontrando duas soluções linearmente independentes e a solução geral. Vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=t^r, que reduz a EDO a uma equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos y=t^r. Então
y'=r,t^r-1, y''=r(r-1),t^r-2

Passo 3

Substituindo na EDO:
t^2l(r(r-1)t^r-2r)+5tl(r,t^r-1r)+4t^r=0

Passo 4

Simplificando each termo com t^r:
r(r-1)+5r+4=0

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
r^2-r+5r+4=r^2+4r+4=(r+2)^2=0

Passo 6

Logo temos raiz dupla r=-2. Para uma raiz dupla numa equação de Euler, as soluções são
y1(t)=t^-2, y2(t)=t^-2ln t

Passo 7

Calculamos o Wronskiano para mostrar independência linear:
W(y1,y2)=t^-2&t^-2ln t-2t^-3&t^-3(1-2ln t) =t^-2cdot t^-3(1-2ln t)-t^-2ln tcdot(-2t^-3) =t^-5neq0(forall tneq0)

Passo 8

Como o Wronskiano é não nulo, y1 e y2 são linearmente independentes. Logo a solução geral é dada por combinação linear dessas duas soluções.

Resposta

y(t)=C1t^-2+C2t^-2ln t, com C1,C2 constantes.

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