Determine o domínio máximo de definição das funções f: C C dadas abaixo
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Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio máximo de definição da função
f(z)=\frac{z{2}+(z-1){3}}{(e^{z}-1)\cos y},
que é uma função de variável complexa. Vamos precisar garantir que o denominador nunca seja zero, ou seja, nem (e^{z}-1) nem \cos y podem anular-se.

Passo 2

O primeiro fator do denominador é e^{z}-1. Para achar onde ele zera, escrevemos z=x+iy e usamos e{z}=e{x}e^{iy}. Então:
e^z-1=0iff e^xe^iy=1
Isso exige e^{x}=1 e e^{iy}=1. Daí x=0 e y=2\pi k, k\in\mathbb{Z}. Logo os zeros de e^{z}-1 são
z=2pi i k,
com k inteiro.

Passo 3

O segundo fator é \cos y, onde y=Im(z). Sabemos que \cos y=0 quando y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Ou seja, todo ponto z=x+i y com
y=tfracpi2+kpi,
faz \cos y=0, independentemente de x.

Passo 4

Para garantir que o denominador não zere devemos excluir do domínio todos os z para os quais e^{z}=1 ou \cos(Im,z)=0. Assim o domínio máximo é
Csetminusl(2pi i k:,kinZcupx+i(tfracpi2+kpi):,xinR,,kinZr)

Resposta

D = Csetminusl(2pi i k:,kinZcupx+i(tfracpi2+kpi):,xinR,,kinZr).

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