Exercício 11. Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. 20 % dos frequeses do sexo masculino preferem salada, e 30 % das mulheres preferem carne. 75 % dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H : o freguês é homem, M : o freguês é mulher A : o freguês prefere salada, B : o freguês prefere carne mulher
Calcule:
(a) P(H), P(A mid H) e P(B mid H);
(b) P(A cup H), P(A cap H);
© P(M mid A).

Passo 1

Estamos lidando com eventos de preferências de refeição em um restaurante e vamos usar probabilidade condicional e as regras do produto e da soma para eventos.

Passo 2

Do enunciado temos: P(H) = 75% = 0,75 (freguês é homem), logo P(M) = 1 – 0,75 = 0,25; entre os homens P(A|H) = 20% = 0,20; daí P(B|H) = 1 – P(A|H) = 0,80.

Passo 3

Para aplicar a regra do produto calculamos as probabilidades conjuntas:
Usando P(Xcap Y)=P(X),P(Y|X):
P(Acap H)=P(H),P(A|H)=0,75times0,20=0,15
Como P(A|M)=1–P(B|M)=1–0,30=0,70,
P(Acap M)=P(M),P(A|M)=0,25times0,70=0,175

Passo 4

Agora calculamos P(A) e depois P(A\cup H) e P(A\cap H):
P(A)=P(Acap H)+P(Acap M)=0,15+0,175=0,325
Pela fórmula da união
P(Acup H)=P(A)+P(H)-P(Acap H)=0,325+0,75-0,15=0,925
E já temos P(A\cap H)=0,15.

Passo 5

Para encontrar P(M|A) usamos definição de probabilidade condicional:
P(M|A)=P(Mcap A)P(A)=0,1750,325=713approx0,5385

Resposta

(a) P(H)=0,75, P(A|H)=0,20, P(B|H)=0,80
(b) P(A\cup H)=0,925, P(A\cap H)=0,15
© P(M|A)=\tfrac{7}{13} \approx0,5385

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