Utilizando o Teorema de Stokes, calcular
ointC f cdot d r, onde f=-y i+x j+z k, e C é a circunferência x^2+y^2=4 no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC f cdot dr usando o Teorema de Stokes, com f = -y,i + x,j + z,k e C sendo a circunferência x^2 + y^2 = 4 no plano xy. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha à integral de superfície do rotacional.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que
ointC f cdot dr = integral duplaS (nabla times f) cdot n , dS
o conjunto S é o disco x^2 + y^2 <= 4, z = 0, cujo contorno é C.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de f. Montando o determinante para nabla times f:

Passo 4

A superfície S é o disco de raio 2 no plano z=0. A normal unitária escolhida, compatível com a orientação positiva de C, é
n = k
Então
(nabla times f) cdot n = 2

Passo 5

Basta agora integrar constante sobre o disco:
integral duplaS 2,dS = 2 times área(S) = 2 times (pi times 2^2) = 8pi á

Resposta

8pi

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