Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
t^2 y^prime prime+3 t y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy t^2y'' + 3t y' + 5y = 0. Esse tipo de equação a gente trata supondo uma solução na forma y = t^m e montando a equação característica para descobrir os expoentes m.

Passo 2

Assumindo y = t^m, calculamos y' = m t^m-1 e y'' = m(m-1)t^m-2. Substituindo na EDO e dividindo por t^m (para tneq0), obtemos a equação característica: m(m-1) + 3m + 5 = 0

Passo 3

Simplificando a equação característica temos m^2 - m + 3m + 5 = m^2 + 2m + 5 = 0 As raízes são m = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -1 pm 2i, a solução geral real da EDO de Euler–Cauchy é dada por y(t) = t^-1l(C1cos(2ln t)+C2sin(2ln t)r)

Passo 5

Para mostrar que as duas soluções fundamentais y1=t^-1cos(2ln t) e y2=t^-1sin(2ln t) são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano W(y1,y2). O resultado é W(y1,y2)(t)=2,t^-3neq0 (forall t>0), o que garante que elas são LI.

Resposta

y(t)=C_{1},t^{-1}\cos\bigl(2\ln t\bigr)+C_{2},t^{-1}\sin\bigl(2\ln t\bigr)

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