Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy
. Esse tipo de equação a gente trata supondo uma solução na forma
e montando a equação característica para descobrir os expoentes
.
Passo 2
Assumindo
, calculamos
e
. Substituindo na EDO e dividindo por
(para
), obtemos a equação característica:
Passo 3
Simplificando a equação característica temos
As raízes são
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral real da EDO de Euler–Cauchy é dada por
Passo 5
Para mostrar que as duas soluções fundamentais
e
são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
. O resultado é
o que garante que elas são LI.
Resposta
y(t)=C_{1},t^{-1}\cos\bigl(2\ln t\bigr)+C_{2},t^{-1}\sin\bigl(2\ln t\bigr)