Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO , encontrando soluções linearmente independentes e apresentando a solução geral. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica e depois verificar independência linear via Wronskiano.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo . Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
Passo 3
Fatorando na equação característica, temos:
Passo 4
Resolvendo as raízes do polinômio quadrático , aplicamos a fórmula de Bhaskara e encontramos as raízes:
Passo 5
Portanto as raízes da característica são , e . Como são distintas, as soluções fundamentais são
Passo 6
Para mostrar que são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
Passo 7
Expandindo pela primeira coluna (onde só o primeiro elemento é não nulo), obtemos:
Como W(x) é não nulo para todo x, as soluções são linearmente independentes. A solução geral da EDO é dada pela combinação linear das soluções fundamentais.