Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
y^prime prime prime-7 y^prime prime-8 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''' - 7y'' - 8y' = 0, encontrando soluções linearmente independentes e apresentando a solução geral. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar a equação característica e depois verificar independência linear via Wronskiano.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
r^3 - 7r^2 - 8r = 0

Passo 3

Fatorando r na equação característica, temos:
r(r^2 - 7r - 8) = 0

Passo 4

Resolvendo as raízes do polinômio quadrático r^2 - 7r - 8 = 0, aplicamos a fórmula de Bhaskara e encontramos as raízes:
r = 7 pm raiz49 + 322 = 7 pm 92 implies r = 8 ou r = -1

Passo 5

Portanto as raízes da característica são r1 = 0, r2 = 8 e r3 = -1. Como são distintas, as soluções fundamentais são
y1(x) = e^0x = 1, y2(x) = e^8x, y3(x) = e^-x

Passo 6

Para mostrar que são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2 & y3 y1' & y2' & y3' y1'' & y2'' & y3'' = 1 & e^8x & e^-x 0 & 8e^8x & -e^-x 0 & 64e^8x & e^-x

Passo 7

Expandindo pela primeira coluna (onde só o primeiro elemento é não nulo), obtemos:
W(x) = 1 cdot l(8e^8x cdot e^-x - (-e^-x) cdot 64e^8xr) = 8e^7x + 64e^7x = 72e^7x neq 0

Passo 8

Como W(x) é não nulo para todo x, as soluções são linearmente independentes. A solução geral da EDO é dada pela combinação linear das soluções fundamentais.

Resposta

$y(x) = C_1 + C_2 e^{8x} + C_3 e^{-x}, $ com y(x) = C1 + C2 e^8x + C3 e^-x, constantes arbitrárias.

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