Utilizando o Teorema da Divergência de Gauss, calcular integralegral duplaS f cdot n d S, onde f=(0,0,2 z) e S é a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Enunciado: calcular o fluxo integral duplaSvec fcdotvec n,dS para vec f=(0,0,2z) e S sendo a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar o conteúdo de Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

O Teorema da Divergência afirma que o fluxo pela superfície fechada S é igual ao integral triplo da divergência de vec f no volume V interno:
integral duplaSvec fcdotvec n,dS = integral triplaVnablacdotvec f,dV
Calculamos a divergência de vec f:
nablacdotvec f = partialpartial x(0)+partialpartial y(0)+partialpartial z(2z) = 2
O volume V é a bola de raio 1, cujo volume é 43pi.
Portanto o fluxo é
integral triplaV2,dV = 2times Vol(V) = 2 times 43pi = 8pi3

Resposta

tfrac8pi3

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