Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
y^prime prime prime prime+y^prime prime prime+y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y'''' + y''' + y'' = 0,
ou seja, encontrar um conjunto de quatro soluções linearmente independentes e escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Começamos montando a equação característica associada à EDO. Basta substituir y = e^rx em cada termo:
r^4 e^rx + r^3 e^rx + r^2 e^rx = 0 implies e^rx(r^4 + r^3 + r^2) = 0
Como e^rxneq0, temos
$$r^4 + r^3 + r^2 = 0 ,.
$$
Fatorando r^4 + r^3 + r^2 = 0 , :
r^2

Passo 3

Da raiz dupla r=0 obtemos duas soluções independentes do tipo
$$y_1(x) = e^{0x} = 1,
$$
$$y_2(x) = x e^{0x} = x.
$$
Isto segue da teoria de raízes múltiplas: para multiplicidade 2 em y1(x) = e^0x = 1, usamos y2(x) = x e^0x = x e r=0.

Passo 4

Agora resolvemos r^2 + r + 1=0. As raízes são
$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = -\tfrac12 \pm i\tfrac{\sqrt3}{2}.
$$
Para as raízes complexas conjugadas r = -1 pm raiz1 - 42 = -tfrac12 pm itfracraiz32 , alpha = -tfrac12, as soluções reais são
$$y_3(x) = e^{-x/2}\cos\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr),
$$
$$y_4(x) = e^{-x/2}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr).
$$

Passo 5

Juntando as quatro soluções independentes, a solução geral da EDO é
y(x) = C1cdot1 + C2,x + e^-x/2l(C3cos(tfracraiz32x) + C4sin(tfracraiz32x)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Para mostrar que y1,y2,y3,y4 são linearmente independentes, podemos usar o fato teórico: soluções associadas a raízes distintas (reais ou complexas) de uma equação característica de coeficientes constantes formam um conjunto fundamental. A raiz r=0 de multiplicidade 2 gera 1,x, e cada par de raízes complexas gera e^alpha xcosbeta x e e^alpha xsinbeta x. Logo, não há combinação linear não trivial que anule todas simultaneamente, confirmando a independência.

Passo 7

Finalizando, a solução geral é dada por:

Passo 8

Exercícios relacionados