Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
ou seja, encontrar um conjunto de quatro soluções linearmente independentes e escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Começamos montando a equação característica associada à EDO. Basta substituir
em cada termo:
Como
, temos
$$r^4 + r^3 + r^2 = 0 ,.
$$
Fatorando
:
Passo 3
Da raiz dupla
obtemos duas soluções independentes do tipo
$$y_1(x) = e^{0x} = 1,
$$
$$y_2(x) = x e^{0x} = x.
$$
Isto segue da teoria de raízes múltiplas: para multiplicidade 2 em usamos
e
.
Isto segue da teoria de raízes múltiplas: para multiplicidade 2 em
Passo 4
Agora resolvemos
. As raízes são
$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = -\tfrac12 \pm i\tfrac{\sqrt3}{2}.
$$
Para as raízes complexas conjugadas
,
, as soluções reais são
$$y_3(x) = e^{-x/2}\cos\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr),
$$
$$y_4(x) = e^{-x/2}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr).
$$
Passo 5
Juntando as quatro soluções independentes, a solução geral da EDO é
onde
Passo 6
Para mostrar que
são linearmente independentes, podemos usar o fato teórico: soluções associadas a raízes distintas (reais ou complexas) de uma equação característica de coeficientes constantes formam um conjunto fundamental. A raiz
de multiplicidade 2 gera
, e cada par de raízes complexas gera
e
. Logo, não há combinação linear não trivial que anule todas simultaneamente, confirmando a independência.
Passo 7
Finalizando, a solução geral é dada por: