Determine todos os pontos no qual a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir onde a função de duas variáveis
é contínua. O conteúdo usado aqui é o conceito de continuidade para funções de várias variáveis: sabemos que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera, e precisamos verificar também o ponto crítico (0,0).
Passo 2
Para qualquer ponto
, o denominador
é diferente de zero. Logo
é quociente de funções polinomiais válidas nesse domínio e, por teorema, é contínua em todo ponto com
.
Passo 3
Restou analisar a continuidade em
. Calculamos o limite
Em coordenadas polares, escrevemos
e
. Então
Quando
, o numerador
depende de
e não se anula em geral, enquanto o denominador vai a zero, fazendo o quociente divergir ou variar conforme a direção. Logo o limite não existe (nem é finito) e a função não é contínua em
.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos
tais que
, e é descontínua em
.