Determine todos os pontos no qual a função é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir onde a função de duas variáveis
f(x,y)=x-3yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua. O conteúdo usado aqui é o conceito de continuidade para funções de várias variáveis: sabemos que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera, e precisamos verificar também o ponto crítico (0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero. Logo f(x,y) é quociente de funções polinomiais válidas nesse domínio e, por teorema, é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Restou analisar a continuidade em (0,0). Calculamos o limite
lim(x,y)to(0,0)x-3yx^2+y^2
Em coordenadas polares, escrevemos x=rcostheta e y=rsintheta. Então
x-3yx^2+y^2=rcostheta-3rsinthetar^2=costheta-3sinthetar
Quando rto0, o numerador costheta-3sintheta depende de theta e não se anula em geral, enquanto o denominador vai a zero, fazendo o quociente divergir ou variar conforme a direção. Logo o limite não existe (nem é finito) e a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0), e é descontínua em (0,0).

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