Seja S a superfície obtida girando-se a circunferência (x-3)^2+z^2=4 em torno do eixo z. Determine a área de superfície de S .

Passo 1

A gente quer achar a área da superfície S, que vem de girar a circunferência (x-3)^2 + z^2 = 4 em torno do eixo z. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de um toro. Para resolver, vamos usar o Teorema de Pappus, que diz que a área gerada é o produto do comprimento do gerador pela distância que seu baricentro percorre.

Passo 2

Reescrevendo (x-3)^2 + z^2 = 4, vemos que o raio da circunferência é r = 2 e o centro está em (3,0) no plano xz, logo sua distância até o eixo de rotação é R = 3.

Passo 3

O comprimento L da circunferência geradora vale
L = 2pi r = 2picdot 2 = 4pi
O baricentro da curva percorre uma circunferência de raio R, cujo comprimento é
C = 2pi R = 2picdot 3 = 6pi

Passo 4

Pelo Teorema de Pappus para área de superfície, a área de S é o produto do comprimento da curva geradora pelo comprimento da trajetória do seu centro:
Área(S) = L cdot C Á

Resposta

24pi^2

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