Seja S a superfície obtida girando-se a circunferência
em torno do eixo
. Determine a área de superfície de S .
Passo 1
A gente quer achar a área da superfície S, que vem de girar a circunferência
em torno do eixo
. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de um toro. Para resolver, vamos usar o Teorema de Pappus, que diz que a área gerada é o produto do comprimento do gerador pela distância que seu baricentro percorre.
Passo 2
Reescrevendo
, vemos que o raio da circunferência é
e o centro está em
no plano
, logo sua distância até o eixo de rotação é
.
Passo 3
O comprimento
da circunferência geradora vale
O baricentro da curva percorre uma circunferência de raio
, cujo comprimento é
Passo 4
Pelo Teorema de Pappus para área de superfície, a área de S é o produto do comprimento da curva geradora pelo comprimento da trajetória do seu centro: