Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é exata e então determine sua solução geral.

Passo 1

Estamos lidando com a EDO (1-2x-3x^2+y),dx + (1+2y+x),dy = 0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar que ela é exata e, depois, encontrar uma função potencial ψ(x,y) tal que dψ = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = 1 - 2x - 3x^2 + y e N(x,y) = 1 + 2y + x. Calculamos as derivadas mistas:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar ψ, integramos M em relação a x:
ψ(x,y) = integral (1 - 2x - 3x^2 + y),dx = x - x^2 - x^3 + xy + C(y),

Passo 4

Agora usamos a condição partial ψ/partial y = N. Calculamos
partial ψpartial y = x + C'(y),
e impomos
x + C'(y) = 1 + 2y + x implies C'(y) = 1 + 2y

Passo 5

Integrando em y
C(y) = integral (1+2y),dy = y + y^2

Passo 6

Logo, a função potencial completa é
ψ(x,y) = x - x^2 - x^3 + xy + y + y^2,
e a solução geral vem de ψ(x,y)=constante.

Resposta

x - x^2 - x^3 + x,y + y + y^2 = C

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