Seja a função
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Determine seus pontos críticos. Determine os intervalos onde ela é crescente e o intervalo onde é decrescente.
Determine seus pontos críticos. Determine os intervalos onde ela é crescente e o intervalo onde é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ e precisa encontrar os pontos críticos dela, além de descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre derivadas na matéria de cálculo.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos críticos, a gente precisa calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ é:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ y’ = 3x^{2} - 6x - 9 $, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todo $ x $. Vamos resolver $ y’ = 0 $:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.
Passo 4
Agora vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada $ y’ $ em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 3 $
- $ x > 3 $
Vamos escolher um valor de $ x $ em cada intervalo e verificar o sinal de $ y’ $.
1. Intervalo $ x < -1 $: Vamos escolher $ x = -2 $.
Como $ y’ > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.
2. Intervalo $ -1 < x < 3 $: Vamos escolher $ x = 0 $.
Como $ y’ < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
3. Intervalo $ x > 3 $: Vamos escolher $ x = 4 $.
Como $ y’ > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ são em $ x = -1 $ e $ x = 3 $.
A função está crescente nos intervalos:
- $ x < -1 $
- $ x > 3 $
E está decrescente no intervalo:
- $ -1 < x < 3 $