Seja a função y=x^3-3 x^2-9 x+11.
Determine seus pontos críticos. Determine os intervalos onde ela é crescente e o intervalo onde é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ e precisa encontrar os pontos críticos dela, além de descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre derivadas na matéria de cálculo.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos críticos, a gente precisa calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ é:
y

Passo 3

Agora que temos a derivada $ y’ = 3x^{2} - 6x - 9 $, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todo $ x $. Vamos resolver $ y’ = 0 $:
y' = 3x^2 - 6x - 9
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
x
Agora, resolvemos a equação quadrática:
y' = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
3x^2 - 6x - 9 = 0
Assim, temos duas soluções:
x^2 - 2x - 3 = 0
Portanto, os pontos críticos estão em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.

Passo 4

Agora vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada $ y’ $ em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
  1. $ x < -1 $
  2. $ -1 < x < 3 $
  3. $ x > 3 $
Vamos escolher um valor de $ x $ em cada intervalo e verificar o sinal de $ y’ $.
1. Intervalo $ x < -1 $: Vamos escolher $ x = -2 $.
y'
Como $ y’ > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.
2. Intervalo $ -1 < x < 3 $: Vamos escolher $ x = 0 $.
x < -1
Como $ y’ < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
3. Intervalo $ x > 3 $: Vamos escolher $ x = 4 $.
-1 < x < 3
Como $ y’ > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11 $ são em $ x = -1 $ e $ x = 3 $.
A função está crescente nos intervalos:
  • $ x < -1 $
  • $ x > 3 $
E está decrescente no intervalo:
  • $ -1 < x < 3 $

Exercícios relacionados