1. Para cada um dos elementos em estado plano de tensões abaixo, determine (utilizando as equações de estado plano de tensões) as tensões agindo nesse elemento a um ângulo \theta indicado em cada uma das figuras, determine as tensões principais e onde elas ocorrem, determine a tensão de cisalhamento máxima (positiva ou negativa) e onde ela ocorre. mostre um esboço de um elemento adequadamente orientado para os elementos
\theta=55^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede, para cada elemento em estado plano de tensões mostrado nas figuras:
  • calcular as tensões atuando no elemento quando orientado no ângulo \theta indicado (aqui \theta=55^\circ);
  • determinar as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 e onde (em que orientação) elas ocorrem;
  • determinar a tensão de cisalhamento máxima (valor e sinal) e onde ela ocorre;
  • mostrar/esboçar um elemento adequadamente orientado para cada caso.
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado que eu tenho aqui:
  • \theta=55^\circ.
Informações que faltam e que são necessárias para obter respostas numéricas:
  • os componentes de tensão no sistema original: \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} para cada elemento (essas aparecem nas figuras do enunciado).
    Sem esses valores numéricos (ou sem as figuras que os contenham) não é possível calcular numericamene \sigma_{x'}, \sigma_{y'}, \tau_{x'y'}, nem \sigma_1, \sigma_2 ou \tau_{\max}. Por isso, a seguir eu vou:
  • explicar passo a passo a teoria e o procedimento (fórmulas, interpretação e como desenhar o elemento) de forma que você consiga aplicar direto na prova quando tiver os valores \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy};
  • indicar exatamente onde e como substituir \theta=55^\circ para obter as tensões transformadas e os valores principais.
    (Ao final explico por que, com os dados incompletos, não posso dar os números finais.)

Passo 2

Equações de transformação de tensões em estado plano (fórmulas fundamentais) — o que são e o que significam:
  • Variáveis:
    • \sigma_x: tensão normal na face perpendicular ao eixo x (positivo por convenção de tração).
    • \sigma_y: tensão normal na face perpendicular ao eixo y.
    • \tau_{xy}: tensão de cisalhamento no plano xy (convenção habitual: \tau_{xy} é cisalhamento no plano com normal em x, sentido positivo para cima; o equilíbrio exige que o cisalhamento na face normal em y seja \tau_{yx}=\tau_{xy} com sinal compatível).
    • \theta: ângulo entre o eixo x original e o eixo x' do elemento rotacionado; ângulo positivo no sentido anti-horário.
  • Fórmulas de transformação (estado plano):
\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta)
\sigma_{y'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\theta) - \tau_{xy}\sin(2\theta)
\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta) + \tau_{xy}\cos(2\theta)
  • Interpretação rápida: a média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} desloca as normais; os termos com \cos(2\theta) e \sin(2\theta) mexem com a diferença entre \sigma_x e \sigma_y e com o cisalhamento original.

Passo 3

Como encontrar as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (valores e ângulo onde ocorrem):
  • Tensões principais são as tensões normais em planos onde o cisalhamento é zero ( \tau_{x'y'}=0). Isso leva à equação para o ângulo principal \theta_p:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  • Fórmulas dos valores principais:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
Explicação: a parte dentro da raiz é o quadrado do raio de Mohr; o sinal + \sigma_1 (maior) e o sinal - \sigma_2 (menor).
  • Observações sobre o ângulo:
    • a fórmula \theta_p = \tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right) dá uma solução básica; usar a função arctan2 ou observar quadrantes é necessário para escolher o ângulo correto (pode ser necessário somar 90^\circ ao resultado de 2\theta_p para obter a outra direção principal).
    • As duas direções principais estão separadas por 90^\circ.

Passo 4

Tensão de cisalhamento máxima (valor e orientação):
  • Magnitude máxima do cisalhamento no plano (valor absoluto):
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
  • Onde ela ocorre: as direções de máximo cisalhamento são rotacionadas em relação às direções principais por \pm 45^\circ. Ou seja, se \theta_p é a direção da \sigma_1, então as direções de \tau_{\max} são
\theta_s = \theta_p \pm 45^\circ.
  • Sinal do cisalhamento no plano depende da convenção; numericamente \tau_{x'y'} pode ser positivo ou negativo — o importante é o valor absoluto \tau_{\max}.

Passo 5

Método prático (passo-a-passo) para calcular tudo quando você tiver \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy} e \theta=55^\circ:
  1. Calcule a média:
\bar\sigma = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  1. Calcule a meitadadiferença:
\Delta = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}.
  1. Calcule 2\theta (para \theta=55^\circ use 2\theta=110^\circ) e seus valores trigonométricos:
\cos(2\theta)=\cos(110^\circ),\qquad \sin(2\theta)=\sin(110^\circ).
(Se fizer à mão na prova, memorize ou calcule com tabela: \cos110^\circ\approx -0{,}3420, \sin110^\circ\approx 0{,}9397.)
4. Use as fórmulas de transformação do Passo 2 para obter \sigma_{x'}, \sigma_{y'} e \tau_{x'y'}.
5. Para as tensões principais calcule o discriminante
R = \sqrt{\Delta^2 + \tau_{xy}^2},
então
\sigma_1 = \bar\sigma + R,\qquad \sigma_2 = \bar\sigma - R.
  1. Para o ângulo principal calcule
\theta_p = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right),
ajustando o quadrante conforme o sinal de \sigma_x-\sigma_y e \tau_{xy}.
7. Para a tensão de cisalhamento máxima, use \tau_{\max}=R e as direções \theta_s=\theta_p\pm45^\circ.

Passo 6

Como fazer o esboço do elemento orientado (o “desenho” pedido pelo exercício) — passo a passo para a prova:
  1. Desenhe um quadrado/elemento pequeno com eixos x e y originais.
  2. Indique nas faces os valores \sigma_x (na face normal ao eixo x), \sigma_y (na face normal ao eixo y) e as forças de cisalhamento \tau_{xy} e \tau_{yx}=\tau_{xy} com setas que respeitem a convenção de sinais.
  3. Desenhe um segundo elemento rotacionado pelo ângulo \theta=55^\circ em relação ao x original; nas faces desse elemento rotacionado desenhe \sigma_{x'}, \sigma_{y'} e \tau_{x'y'} (os sinais conforme o resultado numérico das fórmulas).
  4. Para mostrar tensões principais, desenhe outro elemento alinhado com \theta_p: nas faces mostre somente \sigma_1 e \sigma_2 (sem cisalhamento). Indique \theta_p medido a partir do x original.
  5. Para a máxima cisalhamento, desenhe um elemento rotacionado de \theta_s=\theta_p+45^\circ e indique \tau_{\max} nas faces (e as normais correspondentes).
Dica visual: Mohr’s circle é muito útil para verificar o esboço sem fazer muitos cálculos manuais.

Passo 7

Breve instrução de verificação com Mohr’s circle (método alternativo e rápido para conferência):
  1. Ponto A=(\sigma_x,\;\tau_{xy}) e ponto B=(\sigma_y,\;-\tau_{xy}) no plano (\sigma,\tau).
  2. Centro C=(\bar\sigma,0). Raio R=\sqrt{\Delta^2+\tau_{xy}^2}.
  3. As intersecções do círculo com o eixo \sigma são \sigma_1 e \sigma_2. A coordenada vertical máxima no círculo dá \tau_{\max}.
  4. O ângulo no círculo entre a linha que liga C a A e o eixo \sigma corresponde a 2\theta no elemento físico; assim a geometria de Mohr facilita conversões angulares.

Passo 8

Resumo prático do que você precisa fazer agora (passo final rápido para a prova):
  • Pegue das figuras os valores numéricos \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy}.
  • Siga os passos do Passo 5 com \theta=55^\circ para obter \sigma_{x'}, \sigma_{y'}, \tau_{x'y'}.
  • Calcule \sigma_{1,2} e \tau_{\max} pelas fórmulas do Passo 3 e 4.
  • Desenhe os elementos conforme instruído no Passo 6 para mostrar onde ocorrem as tensões principais e o cisalhamento máximo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \sigma_{x'}, \sigma_{y'}, \tau_{x'y'}, \sigma_1, \sigma_2 e \tau_{\max} para \theta=55^\circ porque o enunciado não forneceu os componentes de tensão \sigma_x, \sigma_y e \tau_{xy} (essas informações estão nas figuras que não foram enviadas).

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