- Para cada um dos elementos em estado plano de tensões abaixo, determine (utilizando as equações de estado plano de tensões) as tensões agindo nesse elemento a um ângulo
indicado em cada uma das figuras, determine as tensões principais e onde elas ocorrem, determine a tensão de cisalhamento máxima (positiva ou negativa) e onde ela ocorre. mostre um esboço de um elemento adequadamente orientado para os elementos
Passo 1
O enunciado pede, para cada elemento em estado plano de tensões mostrado nas figuras:
- calcular as tensões atuando no elemento quando orientado no ângulo
indicado (aqui ); - determinar as tensões principais
e e onde (em que orientação) elas ocorrem; - determinar a tensão de cisalhamento máxima (valor e sinal) e onde ela ocorre;
- mostrar/esboçar um elemento adequadamente orientado para cada caso.
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado que eu tenho aqui:
-
.
Informações que faltam e que são necessárias para obter respostas numéricas:
- os componentes de tensão no sistema original:
, e para cada elemento (essas aparecem nas figuras do enunciado).
Sem esses valores numéricos (ou sem as figuras que os contenham) não é possível calcular numericamene, , , nem , ou . Por isso, a seguir eu vou: - explicar passo a passo a teoria e o procedimento (fórmulas, interpretação e como desenhar o elemento) de forma que você consiga aplicar direto na prova quando tiver os valores
, , ; - indicar exatamente onde e como substituir
para obter as tensões transformadas e os valores principais.
(Ao final explico por que, com os dados incompletos, não posso dar os números finais.)
Passo 2
Equações de transformação de tensões em estado plano (fórmulas fundamentais) — o que são e o que significam:
- Variáveis:
-
: tensão normal na face perpendicular ao eixo (positivo por convenção de tração). -
: tensão normal na face perpendicular ao eixo . -
: tensão de cisalhamento no plano (convenção habitual: é cisalhamento no plano com normal em , sentido positivo para cima; o equilíbrio exige que o cisalhamento na face normal em seja com sinal compatível). -
: ângulo entre o eixo original e o eixo do elemento rotacionado; ângulo positivo no sentido anti-horário.
-
- Fórmulas de transformação (estado plano):
- Interpretação rápida: a média
desloca as normais; os termos com e mexem com a diferença entre e e com o cisalhamento original.
Passo 3
Como encontrar as tensões principais
e
(valores e ângulo onde ocorrem):
- Tensões principais são as tensões normais em planos onde o cisalhamento é zero (
). Isso leva à equação para o ângulo principal :
- Fórmulas dos valores principais:
Explicação: a parte dentro da raiz é o quadrado do raio de Mohr; o sinal
dá
(maior) e o sinal
dá
(menor).
- Observações sobre o ângulo:
- a fórmula
dá uma solução básica; usar a função arctan2 ou observar quadrantes é necessário para escolher o ângulo correto (pode ser necessário somar ao resultado de para obter a outra direção principal). - As duas direções principais estão separadas por
.
- a fórmula
Passo 4
Tensão de cisalhamento máxima (valor e orientação):
- Magnitude máxima do cisalhamento no plano (valor absoluto):
- Onde ela ocorre: as direções de máximo cisalhamento são rotacionadas em relação às direções principais por
. Ou seja, se é a direção da , então as direções de são
- Sinal do cisalhamento no plano depende da convenção; numericamente
pode ser positivo ou negativo — o importante é o valor absoluto .
Passo 5
Método prático (passo-a-passo) para calcular tudo quando você tiver
,
,
e
:
- Calcule a média:
- Calcule a meitadadiferença:
- Calcule
(para use ) e seus valores trigonométricos:
(Se fizer à mão na prova, memorize ou calcule com tabela:
,
.)
4. Use as fórmulas de transformação do Passo 2 para obter ,
e
.
5. Para as tensões principais calcule o discriminante
4. Use as fórmulas de transformação do Passo 2 para obter
5. Para as tensões principais calcule o discriminante
então
- Para o ângulo principal calcule
ajustando o quadrante conforme o sinal de
e
.
7. Para a tensão de cisalhamento máxima, use e as direções
.
7. Para a tensão de cisalhamento máxima, use
Passo 6
Como fazer o esboço do elemento orientado (o “desenho” pedido pelo exercício) — passo a passo para a prova:
- Desenhe um quadrado/elemento pequeno com eixos
e originais. - Indique nas faces os valores
(na face normal ao eixo ), (na face normal ao eixo ) e as forças de cisalhamento e com setas que respeitem a convenção de sinais. - Desenhe um segundo elemento rotacionado pelo ângulo
em relação ao original; nas faces desse elemento rotacionado desenhe , e (os sinais conforme o resultado numérico das fórmulas). - Para mostrar tensões principais, desenhe outro elemento alinhado com
: nas faces mostre somente e (sem cisalhamento). Indique medido a partir do original. - Para a máxima cisalhamento, desenhe um elemento rotacionado de
e indique nas faces (e as normais correspondentes).
Dica visual: Mohr’s circle é muito útil para verificar o esboço sem fazer muitos cálculos manuais.
Passo 7
Breve instrução de verificação com Mohr’s circle (método alternativo e rápido para conferência):
- Ponto
e ponto no plano . - Centro
. Raio . - As intersecções do círculo com o eixo
são e . A coordenada vertical máxima no círculo dá . - O ângulo no círculo entre a linha que liga
a e o eixo corresponde a no elemento físico; assim a geometria de Mohr facilita conversões angulares.
Passo 8
Resumo prático do que você precisa fazer agora (passo final rápido para a prova):
- Pegue das figuras os valores numéricos
, e . - Siga os passos do Passo 5 com
para obter , , . - Calcule
e pelas fórmulas do Passo 3 e 4. - Desenhe os elementos conforme instruído no Passo 6 para mostrar onde ocorrem as tensões principais e o cisalhamento máximo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
,
,
,
,
e
para
porque o enunciado não forneceu os componentes de tensão
,
e
(essas informações estão nas figuras que não foram enviadas).