Para cada uma das elipses dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
225 x^{2}+289 y^{2}=65025

Passo 1

O enunciado fornece a elipse
225 x^{2}+289 y^{2}=65025.
O que se pede (lista clara de perguntas):
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • coeficientes quadráticos: 225 para x^{2} e 289 para y^{2};
  • termo do lado direito: 65025.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão da elipse centrada na origem. Para isso dividimos ambos os lados por 65025.
\frac{225 x^{2}}{65025}+\frac{289 y^{2}}{65025}=1.
Observação útil de simplificação: 65025=225\cdot289. Substituindo isso obtemos
\frac{x^{2}}{289}+\frac{y^{2}}{225}=1.
Esta é a forma padrão da elipse com centro na origem e eixos alinhados com os eixos coordenados:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a^{2} e b^{2} são os denominadores.

Passo 3

Identificar a^{2} e b^{2}. Comparando com a forma padrão temos:
a^{2}=289,\qquad b^{2}=225.
Por convenção a é o semi-eixo maior (o maior dos dois semieixos). Aqui a^{2}=289>b^{2}=225, logo o eixo maior está ao longo do eixo x.
Calcular os semieixos:
a=\sqrt{289}=17, \qquad b=\sqrt{225}=15.
Explicação didática curta: a e b são os comprimentos dos semi-eixos; o semi-eixo maior é o maior desses valores.

Passo 4

Encontrar os focos. Para uma elipse com eixo maior no sentido de x (centro na origem), os focos têm coordenadas (\pm c,0), com
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Isto vem da definição geométrica da elipse e da relação entre os parâmetros.
Calculemos c:
c^{2}=289-225=64, \qquad c=\sqrt{64}=8.
Portanto os focos são
(\pm 8,\,0) = (8,0)\text{ e }(-8,0).

Passo 5

Calcular a excentricidade e. Definição:
e=\frac{c}{a},
onde 0<e<1 para elipses. Substituindo os valores obtidos:
e=\frac{8}{17}.
Como aproximação decimal (útil na prova se pedirem): e\approx 0,4706 (usar vírgula conforme convensão).

Passo 6

Releitura final dos resultados e verificação rápida: a forma padrão \dfrac{x^{2}}{289}+\dfrac{y^{2}}{225}=1 confirma a=17, b=15; com isso c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=8 e e=\dfrac{8}{17}. Está tudo consistente (a maior raiz corresponde ao eixo x, focos simétricos na horizontal, 0<e<1).

Resposta

a=17
b=15
Focos: (8,0) e (-8,0)
Excentricidade: e=\dfrac{8}{17}

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