Para cada uma das elipses dadas determinar:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
Passo 1
O enunciado fornece a elipse
O que se pede (lista clara de perguntas):
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- coeficientes quadráticos:
para e para ; - termo do lado direito:
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão da elipse centrada na origem. Para isso dividimos ambos os lados por
.
Observação útil de simplificação:
. Substituindo isso obtemos
Esta é a forma padrão da elipse com centro na origem e eixos alinhados com os eixos coordenados:
onde
e
são os denominadores.
Passo 3
Identificar
e
. Comparando com a forma padrão temos:
Por convenção
é o semi-eixo maior (o maior dos dois semieixos). Aqui
, logo o eixo maior está ao longo do eixo
.
Calcular os semieixos:
Explicação didática curta:
e
são os comprimentos dos semi-eixos; o semi-eixo maior é o maior desses valores.
Passo 4
Encontrar os focos. Para uma elipse com eixo maior no sentido de
(centro na origem), os focos têm coordenadas
, com
Isto vem da definição geométrica da elipse e da relação entre os parâmetros.
Calculemos
:
Portanto os focos são
Passo 5
Calcular a excentricidade
. Definição:
onde
para elipses. Substituindo os valores obtidos:
Como aproximação decimal (útil na prova se pedirem):
(usar vírgula conforme convensão).
Passo 6
Releitura final dos resultados e verificação rápida: a forma padrão
confirma
,
; com isso
e
. Está tudo consistente (a maior raiz corresponde ao eixo
, focos simétricos na horizontal,
).
Resposta
Focos:
e
Excentricidade:
Excentricidade: