Para cada equação abaixo: (a) complete quadrados; (b) encontre a translação necessária; (c) escreva a forma canônica; (d) classifique a cônica; (e) determine centro/vértices/eixos; (f) calcule focos/excentricidade ou diretriz; (g) faça um esboço.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
(i)
.
(j)
.
(k)
.
(l)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
Você me deu uma lista de 12 equações de segundo grau (uma por item de (a) a (l)) e pediu, para cada uma: (a) completar quadrados; (b) achar a translação necessária; (c) escrever a forma canônica; (d) classificar a cônica; (e) determinar centro/vértices/eixos; (f) calcular focos/excentricidade ou diretriz; (g) esboçar.
Informações importantes dadas: cada linha é uma única equação em . Não há termo
em nenhuma, portanto as cônicas estarão alinhadas com os eixos (só translações em
serão necessárias).
Nada mais será pedido — vou resolver cada equação passo a passo, completando quadrados, encontrando a translação que centraliza a cônica, escrevendo a forma canônica e calculando todas as propriedades pedidas.
Informações importantes dadas: cada linha é uma única equação em
Nada mais será pedido — vou resolver cada equação passo a passo, completando quadrados, encontrando a translação
Passo 2
Primeiro uma mini-aula prática (juramento de amigo didático): como eu vou proceder sempre que aparecer um termo quadrático em
e/ou
e termos lineares.
- Completar quadrados (o truque básico)
- Para
escrevo . - Para
escrevo .
- Translação
- Depois de completar quadrados, identifico termos do tipo
e . A translação é (ou , ). Em surge a forma canônica.
- Formas canônicas que procuro
- Elipse:
. Se o eixo maior está na direção do termo etc. - Hipérbole:
ou . - Parábola:
ou . - Círculo:
.
- Calcular elementos
- Elipse:
, focos a uma distância do centro sobre o eixo maior; excentricidade . - Hipérbole:
, focos a distância do centro; excentricidade . - Parábola: se
então vértice , foco , diretriz , eixo de simetria vertical, e . - Círculo: centro
, raio .
Agora aplico isso, um item por passo para ficar claro.
Passo 3
- Agrupo e completo quadrados:
Substituindo:
- Forma canônica:
- Classificação: elipse. Centro
. (maior em → eixo maior horizontal). - Vértices:
→ e . Co-vértices: → e . - Focos:
. Focos . Excentricidade . - Esboço: elipse centrada em
, eixo maior horizontal de comprimento e eixo menor vertical de comprimento .
Passo 4
- Agrupo e completo quadrados:
Substituindo:
- Reescrevo como hipérbole (termo positivo isolado):
- Classificação: hipérbole com eixo transverso vertical. Centro
. - Defino
. Vértices: . - Focos:
. Focos . - Excentricidade:
- Assíntotas (úteis no esboço): declive
, linhas . - Esboço: hipérbole vertical centrada em
, ramos acima e abaixo do centro.
Passo 5
- Completar quadrado em
:
- Isolo
:
- Classificação: parábola vertical (abre para cima). Vértice
. - Forma padrão
com . - Foco:
. Diretriz: . Eixo de simetria: . Excentricidade . - Esboço: parábola com vértice em
, foco em , abre para cima.
Passo 6
- Agrupo e completo quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: elipse. Centro
. (maior no eixo ). - Vértices:
. Co-vértices: . - Focos:
. Focos . - Excentricidade
. - Esboço: elipse centrada em
, maior horizontal.
Passo 7
- Completar quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: círculo com centro
e raio . - Pontos notáveis:
e (pontos mais externos sobre eixos). - Focos/excentricidade: não aplicável (círculo é caso especial de elipse com
). - Esboço: círculo centrado em
de raio .
Passo 8
- Agrupo e completo quadrados:
- Reescrevo para ter 1 do lado direito:
- Classificação: hipérbole com eixo transverso vertical. Centro
. -
. Vértices: . - Focos:
. Focos . - Excentricidade:
- Assíntotas:
com , logo . - Esboço: hipérbole vertical centrada em
com ramos para cima e para baixo.
Passo 9
- Agrupo e completo quadrados (em
):
- Isolo
:
- Classificação: parábola horizontal (abre para a esquerda) com vértice
. - Coloco na forma
: aqui . - Foco:
(equivalente a ). Diretriz: (equivalente a ). Eixo: . Excentricidade . - Esboço: parábola com vértice em
abrindo à esquerda.
Passo 10
- Fator comum e completo quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: círculo. Centro
. Raio . - Pontos notáveis:
e . - Esboço: círculo centralizado em
com raio .
Passo 11
- Agrupo e completo quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: elipse. Centro
. Aqui (maior), . - Vértices (no eixo
): . Co-vértices: . - Focos:
. Focos . - Excentricidade:
- Esboço: elipse centrada em
, maior na direção vertical.
Passo 12
- Completar quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: parábola vertical com vértice
. Aqui . - Foco:
. Diretriz: . Eixo: . Excentricidade . - Esboço: parábola com vértice
abrindo para cima.
Passo 13
- Agrupo e completo quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: elipse. Centro
. (maior→direção ), . - Vértices:
i.e. e . Co-vértices: i.e. e . - Focos:
. Focos . - Excentricidade
. - Esboço: elipse vertical centrada em
.
Passo 14
- Fator comum e completo quadrados:
- Forma canônica:
- Classificação: elipse. Centro
. Aqui (maior → direção ), . - Vértices (no eixo
): → e . Co-vértices: → . - Focos:
. Focos . - Excentricidade:
- Esboço: elipse vertical centralizada em
, vértices em e .
Resposta
(a)
; elipse; centro
; vértices
; co-vértices
; focos
;
.
(b)
; hipérbole (transversa vertical); centro
; vértices
; focos
;
. Assíntotas
.
(c)
; parábola vertical (abre para cima); vértice
; foco
; diretriz
; eixo
;
.
(d)
; elipse; centro
; vértices
; co-vértices
; focos
;
.
(e)
; círculo; centro
; raio
.
(f)
; hipérbole (transversa vertical); centro
; vértices
; focos
;
. Assíntotas
.
(g)
; parábola horizontal (abre para a esquerda); vértice
; foco
; diretriz
; eixo
;
.
(h)
; círculo; centro
; raio
.
(i)
; elipse; centro
; vértices
; co-vértices
; focos
;
.
(j)
; parábola vertical (abre para cima); vértice
; foco
; diretriz
; eixo
;
.
(k)
; elipse; centro
; vértices
; co-vértices
; focos
;
.
(l)
; elipse; centro
; vértices
; co-vértices
; focos
;
.