Para cada equação abaixo: (a) complete quadrados; (b) encontre a translação necessária; (c) escreva a forma canônica; (d) classifique a cônica; (e) determine centro/vértices/eixos; (f) calcule focos/excentricidade ou diretriz; (g) faça um esboço.
(a) 4 x^{2}+9 y^{2}-24 x+36 y+36=0.
(b) 9 x^{2}-16 y^{2}-54 x+32 y+99=0.
(c) x^{2}-4 x-8 y+12=0.
(d) 2 x^{2}+3 y^{2}+8 x-18 y+20=0.
(e) x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+9=0.
(f) 16 x^{2}-y^{2}-64 x+10 y+144=0.
(g) 25 y^{2}-100 y+10 x+225=0.
(h) 3 x^{2}+12 x+3 y^{2}-18 y-45=0.
(i) 9 x^{2}+4 y^{2}-18 x+32 y-11=0.
(j) x^{2}-2 x-4 y+1=0.
(k) 4 x^{2}+y^{2}+8 x-6 y+9=0.
(l) 36 x^{2}+9 y^{2}-432 x+162 y+1296=0.

Passo 1

Você me deu uma lista de 12 equações de segundo grau (uma por item de (a) a (l)) e pediu, para cada uma: (a) completar quadrados; (b) achar a translação necessária; (c) escrever a forma canônica; (d) classificar a cônica; (e) determinar centro/vértices/eixos; (f) calcular focos/excentricidade ou diretriz; (g) esboçar.
Informações importantes dadas: cada linha é uma única equação em x,y. Não há termo xy em nenhuma, portanto as cônicas estarão alinhadas com os eixos (só translações em x,y serão necessárias).
Nada mais será pedido — vou resolver cada equação passo a passo, completando quadrados, encontrando a translação (x,y)\mapsto (X+h,Y+k) que centraliza a cônica, escrevendo a forma canônica e calculando todas as propriedades pedidas.

Passo 2

Primeiro uma mini-aula prática (juramento de amigo didático): como eu vou proceder sempre que aparecer um termo quadrático em x e/ou y e termos lineares.
  1. Completar quadrados (o truque básico)
  • Para x^2+Bx escrevo (x+B/2)^2 - (B/2)^2.
  • Para y^2+Cy escrevo (y+C/2)^2 - (C/2)^2.
  1. Translação
  • Depois de completar quadrados, identifico termos do tipo (x-h)^2 e (y-k)^2. A translação é X=x-h,\;Y=y-k (ou x=h+X, y=k+Y). Em X,Y surge a forma canônica.
  1. Formas canônicas que procuro
  • Elipse: \dfrac{(X)^2}{a^2}+\dfrac{(Y)^2}{b^2}=1. Se a^2>b^2 o eixo maior está na direção do termo X^2 etc.
  • Hipérbole: \dfrac{(X)^2}{a^2}-\dfrac{(Y)^2}{b^2}=1 ou \dfrac{(Y)^2}{a^2}-\dfrac{(X)^2}{b^2}=1.
  • Parábola: (X)^2=4pY ou (Y)^2=4pX.
  • Círculo: (X)^2+(Y)^2=r^2.
  1. Calcular elementos
  • Elipse: c^2=a^2-b^2, focos a uma distância c do centro sobre o eixo maior; excentricidade e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}.
  • Hipérbole: c^2=a^2+b^2, focos a distância c do centro; excentricidade e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}.
  • Parábola: se (x-h)^2=4p(y-k) então vértice (h,k), foco (h,k+p), diretriz y=k-p, eixo de simetria vertical, e e=1.
  • Círculo: centro (h,k), raio r.
Agora aplico isso, um item por passo para ficar claro.

Passo 3

  1. Agrupo e completo quadrados:
4(x^2-6x)+9(y^2+4y)+36=0.
x^2-6x=(x-3)^2-9,\qquad y^2+4y=(y+2)^2-4.
Substituindo:
4[(x-3)^2-9]+9[(y+2)^2-4]+36=0.
4(x-3)^2+9(y+2)^2-36=0.
  1. Forma canônica:
4(x-3)^2+9(y+2)^2=36\quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1.
  1. Classificação: elipse. Centro (3,-2). a^2=9,\;b^2=4 (maior em x → eixo maior horizontal).
  2. Vértices: (3\pm 3,-2) (6,-2) e (0,-2). Co-vértices: (3,-2\pm2) (3,0) e (3,-4).
  3. Focos: c^2=a^2-b^2=9-4=5\Rightarrow c=\sqrt{5}. Focos (3\pm\sqrt{5},-2). Excentricidade e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.
  4. Esboço: elipse centrada em (3,-2), eixo maior horizontal de comprimento 2a=6 e eixo menor vertical de comprimento 2b=4.

Passo 4

  1. Agrupo e completo quadrados:
9(x^2-6x)-16(y^2-2y)+99=0,
x^2-6x=(x-3)^2-9,\qquad y^2-2y=(y-1)^2-1.
Substituindo:
9[(x-3)^2-9]-16[(y-1)^2-1]+99=0.
9(x-3)^2-81-16(y-1)^2+16+99=0
9(x-3)^2-16(y-1)^2+34=0.
  1. Reescrevo como hipérbole (termo positivo isolado):
16(y-1)^2-9(x-3)^2=34.
\frac{(y-1)^2}{17/8}-\frac{(x-3)^2}{34/9}=1.
  1. Classificação: hipérbole com eixo transverso vertical. Centro (3,1).
  2. Defino a^2=\dfrac{17}{8},\;b^2=\dfrac{34}{9}. Vértices: (3,1\pm a)=(3,1\pm\sqrt{17/8}).
  3. Focos: c^2=a^2+b^2=\dfrac{17}{8}+\dfrac{34}{9}=\dfrac{425}{72}. Focos (3,1\pm\sqrt{425/72}).
  4. Excentricidade:
e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{425}{153}}.
  1. Assíntotas (úteis no esboço): declive \pm \dfrac{a}{b}=\pm \dfrac{3}{4}, linhas (y-1)=\pm\tfrac{3}{4}(x-3).
  2. Esboço: hipérbole vertical centrada em (3,1), ramos acima e abaixo do centro.

Passo 5

  1. Completar quadrado em x:
(x^2-4x)-8y+12=0,\qquad x^2-4x=(x-2)^2-4.
(x-2)^2-4-8y+12=0\Rightarrow (x-2)^2-8y+8=0.
  1. Isolo y:
(x-2)^2=8(y-1)\quad\Longrightarrow\quad y-1=\frac{1}{8}(x-2)^2.
  1. Classificação: parábola vertical (abre para cima). Vértice (2,1).
  2. Forma padrão (x-2)^2=4p(y-1) com 4p=8\Rightarrow p=2.
  3. Foco: (2,1+p)=(2,3). Diretriz: y=1-p=-1. Eixo de simetria: x=2. Excentricidade e=1.
  4. Esboço: parábola com vértice em (2,1), foco em (2,3), abre para cima.

Passo 6

  1. Agrupo e completo quadrados:
2(x^2+4x)+3(y^2-6y)+20=0,
x^2+4x=(x+2)^2-4,\qquad y^2-6y=(y-3)^2-9.
2[(x+2)^2-4]+3[(y-3)^2-9]+20=0.
2(x+2)^2+3(y-3)^2-15=0.
  1. Forma canônica:
2(x+2)^2+3(y-3)^2=15\quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+2)^2}{15/2}+\frac{(y-3)^2}{5}=1.
  1. Classificação: elipse. Centro (-2,3). a^2=\tfrac{15}{2},\;b^2=5 (maior no eixo x).
  2. Vértices: (-2\pm\sqrt{15/2},3). Co-vértices: (-2,3\pm\sqrt{5}).
  3. Focos: c^2=a^2-b^2=\tfrac{15}{2}-5=\tfrac{5}{2}\Rightarrow c=\sqrt{5/2}. Focos \bigl(-2\pm\sqrt{5/2},\,3\bigr).
  4. Excentricidade e=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  5. Esboço: elipse centrada em (-2,3), maior horizontal.

Passo 7

  1. Completar quadrados:
(x^2+4x)+(y^2-6y)+9=0,
(x+2)^2-4+(y-3)^2-9+9=0.
(x+2)^2+(y-3)^2-4=0.
  1. Forma canônica:
(x+2)^2+(y-3)^2=4.
  1. Classificação: círculo com centro (-2,3) e raio r=2.
  2. Pontos notáveis: ( -2\pm 2,\,3) e (-2,\,3\pm 2) (pontos mais externos sobre eixos).
  3. Focos/excentricidade: não aplicável (círculo é caso especial de elipse com e=0).
  4. Esboço: círculo centrado em (-2,3) de raio 2.

Passo 8

  1. Agrupo e completo quadrados:
16(x^2-4x)-(y^2-10y)+144=0,
x^2-4x=(x-2)^2-4,\qquad y^2-10y=(y-5)^2-25.
16[(x-2)^2-4]-[(y-5)^2-25]+144=0.
16(x-2)^2-64-(y-5)^2+25+144=0.
16(x-2)^2-(y-5)^2+105=0.
  1. Reescrevo para ter 1 do lado direito:
(y-5)^2-16(x-2)^2=105\quad\Longrightarrow\quad \frac{(y-5)^2}{105}-\frac{(x-2)^2}{105/16}=1.
  1. Classificação: hipérbole com eixo transverso vertical. Centro (2,5).
  2. a^2=105,\;b^2=\dfrac{105}{16}. Vértices: (2,5\pm\sqrt{105}).
  3. Focos: c^2=a^2+b^2=105+\dfrac{105}{16}=\dfrac{1785}{16}\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt{1785}}{4}. Focos (2,5\pm \tfrac{\sqrt{1785}}{4}).
  4. Excentricidade:
e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{17}{16}}=\frac{\sqrt{17}}{4}.
  1. Assíntotas: (y-5)=\pm\frac{a}{b}(x-2) com \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{105}}{\sqrt{105}/4}=4, logo (y-5)=\pm 4(x-2).
  2. Esboço: hipérbole vertical centrada em (2,5) com ramos para cima e para baixo.

Passo 9

  1. Agrupo e completo quadrados (em y):
25(y^2-4y)+10x+225=0,\qquad y^2-4y=(y-2)^2-4.
25[(y-2)^2-4]+10x+225=0.
25(y-2)^2-100+10x+225=0\Rightarrow 25(y-2)^2+10x+125=0.
  1. Isolo x:
10x=-25(y-2)^2-125\Rightarrow x=-\frac{5}{2}(y-2)^2- \frac{125}{10}=-\frac{5}{2}(y-2)^2-\frac{25}{2}.
\text{ou}\quad (y-2)^2=-\frac{2}{5}(x+\tfrac{25}{2}).
  1. Classificação: parábola horizontal (abre para a esquerda) com vértice \bigl(-\tfrac{25}{2},\,2\bigr).
  2. Coloco na forma (y-k)^2=4p(x-h): aqui 4p=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow p=-\dfrac{1}{10}.
  3. Foco: \bigl(h+p,\,k\bigr)=\bigl(-\tfrac{25}{2}-\tfrac{1}{10},\,2\bigr)=\bigl(-\tfrac{63}{5},\,2\bigr) (equivalente a (-12{,}6,2)). Diretriz: x=h-p=-\tfrac{25}{2}+\tfrac{1}{10}=-\tfrac{62}{5} (equivalente a -12{,}4). Eixo: y=2. Excentricidade e=1.
  4. Esboço: parábola com vértice em (-12{,}5,2) abrindo à esquerda.

Passo 10

  1. Fator comum e completo quadrados:
3(x^2+4x+y^2-6y-15)=0\Rightarrow x^2+4x+y^2-6y-15=0.
(x+2)^2-4+(y-3)^2-9-15=0.
(x+2)^2+(y-3)^2-28=0.
  1. Forma canônica:
(x+2)^2+(y-3)^2=28.
  1. Classificação: círculo. Centro (-2,3). Raio r=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.
  2. Pontos notáveis: (-2\pm 2\sqrt7,3) e (-2,3\pm 2\sqrt7).
  3. Esboço: círculo centralizado em (-2,3) com raio 2\sqrt7.

Passo 11

  1. Agrupo e completo quadrados:
9(x^2-2x)+4(y^2+8y)-11=0,
x^2-2x=(x-1)^2-1,\qquad y^2+8y=(y+4)^2-16.
9[(x-1)^2-1]+4[(y+4)^2-16]-11=0.
9(x-1)^2-9+4(y+4)^2-64-11=0.
9(x-1)^2+4(y+4)^2-84=0.
  1. Forma canônica:
\frac{(x-1)^2}{84/9}+\frac{(y+4)^2}{84/4}=1\quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{28/3}+\frac{(y+4)^2}{21}=1.
  1. Classificação: elipse. Centro (1,-4). Aqui a^2=21 (maior), b^2=\tfrac{28}{3}.
  2. Vértices (no eixo y): (1,-4\pm\sqrt{21}). Co-vértices: (1\pm\sqrt{28/3},-4).
  3. Focos: c^2=a^2-b^2=21-\tfrac{28}{3}=\tfrac{35}{3}\Rightarrow c=\sqrt{\tfrac{35}{3}}. Focos \bigl(1,-4\pm\sqrt{35/3}\bigr).
  4. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{35/3}}{\sqrt{21}}=\sqrt{\frac{35}{63}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
  1. Esboço: elipse centrada em (1,-4), maior na direção vertical.

Passo 12

  1. Completar quadrados:
(x^2-2x)-4y+1=0,\qquad x^2-2x=(x-1)^2-1.
(x-1)^2-1-4y+1=0\Rightarrow (x-1)^2-4y=0.
  1. Forma canônica:
(x-1)^2=4(y-0).
  1. Classificação: parábola vertical com vértice (1,0). Aqui 4p=4\Rightarrow p=1.
  2. Foco: (1,1). Diretriz: y=-1. Eixo: x=1. Excentricidade e=1.
  3. Esboço: parábola com vértice (1,0) abrindo para cima.

Passo 13

  1. Agrupo e completo quadrados:
4(x^2+2x)+(y^2-6y)+9=0,
x^2+2x=(x+1)^2-1,\qquad y^2-6y=(y-3)^2-9.
4[(x+1)^2-1]+(y-3)^2-9+9=0.
4(x+1)^2+(y-3)^2-4=0.
  1. Forma canônica:
4(x+1)^2+(y-3)^2=4\quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+1)^2}{1}+\frac{(y-3)^2}{4}=1.
  1. Classificação: elipse. Centro (-1,3). a^2=4 (maior→direção y), b^2=1.
  2. Vértices: (-1,3\pm 2) i.e. (-1,5) e (-1,1). Co-vértices: (-1\pm 1,3) i.e. (0,3) e (-2,3).
  3. Focos: c^2=a^2-b^2=4-1=3\Rightarrow c=\sqrt{3}. Focos (-1,3\pm\sqrt{3}).
  4. Excentricidade e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  5. Esboço: elipse vertical centrada em (-1,3).

Passo 14

  1. Fator comum e completo quadrados:
9(4x^2+y^2-48x+18y+144)=0\Rightarrow 4x^2-48x+y^2+18y+144=0.
4(x^2-12x)+(y^2+18y)+144=0,
x^2-12x=(x-6)^2-36,\qquad y^2+18y=(y+9)^2-81.
4[(x-6)^2-36]+(y+9)^2-81+144=0.
4(x-6)^2+(y+9)^2-81=0.
  1. Forma canônica:
4(x-6)^2+(y+9)^2=81\quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-6)^2}{81/4}+\frac{(y+9)^2}{81}=1.
  1. Classificação: elipse. Centro (6,-9). Aqui a^2=81 (maior → direção y), b^2=\tfrac{81}{4}.
  2. Vértices (no eixo y): (6,-9\pm 9) (6,0) e (6,-18). Co-vértices: (6\pm 9/2,-9) (6\pm 4{,}5,-9).
  3. Focos: c^2=a^2-b^2=81-\tfrac{81}{4}=\tfrac{243}{4}\Rightarrow c=\tfrac{9\sqrt{3}}{2}. Focos \bigl(6,-9\pm\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\bigr).
  4. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{9\sqrt{3}/2}{9}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Esboço: elipse vertical centralizada em (6,-9), vértices em (6,0) e (6,-18).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1; elipse; centro (3,-2); vértices (6,-2),(0,-2); co-vértices (3,0),(3,-4); focos (3\pm\sqrt{5},-2); e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.
(b) \displaystyle \frac{(y-1)^2}{17/8}-\frac{(x-3)^2}{34/9}=1; hipérbole (transversa vertical); centro (3,1); vértices (3,1\pm\sqrt{17/8}); focos \bigl(3,\,1\pm\sqrt{425/72}\bigr); e=\sqrt{\dfrac{425}{153}}. Assíntotas (y-1)=\pm\tfrac{3}{4}(x-3).
(c) \displaystyle (x-2)^2=8(y-1); parábola vertical (abre para cima); vértice (2,1); foco (2,3); diretriz y=-1; eixo x=2; e=1.
(d) \displaystyle \frac{(x+2)^2}{15/2}+\frac{(y-3)^2}{5}=1; elipse; centro (-2,3); vértices \bigl(-2\pm\sqrt{15/2},\,3\bigr); co-vértices \bigl(-2,\,3\pm\sqrt{5}\bigr); focos \bigl(-2\pm\sqrt{5/2},\,3\bigr); e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
(e) \displaystyle (x+2)^2+(y-3)^2=4; círculo; centro (-2,3); raio 2.
(f) \displaystyle \frac{(y-5)^2}{105}-\frac{(x-2)^2}{105/16}=1; hipérbole (transversa vertical); centro (2,5); vértices (2,5\pm\sqrt{105}); focos \bigl(2,5\pm\tfrac{\sqrt{1785}}{4}\bigr); e=\dfrac{\sqrt{17}}{4}. Assíntotas (y-5)=\pm 4(x-2).
(g) \displaystyle (y-2)^2=-\frac{2}{5}\bigl(x+\tfrac{25}{2}\bigr); parábola horizontal (abre para a esquerda); vértice \bigl(-\tfrac{25}{2},2\bigr); foco \bigl(-\tfrac{63}{5},2\bigr); diretriz x=-\tfrac{62}{5}; eixo y=2; e=1.
(h) \displaystyle (x+2)^2+(y-3)^2=28; círculo; centro (-2,3); raio 2\sqrt{7}.
(i) \displaystyle \frac{(x-1)^2}{28/3}+\frac{(y+4)^2}{21}=1; elipse; centro (1,-4); vértices (1,-4\pm\sqrt{21}); co-vértices (1\pm\sqrt{28/3},-4); focos \bigl(1,-4\pm\sqrt{35/3}\bigr); e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.
(j) \displaystyle (x-1)^2=4(y-0); parábola vertical (abre para cima); vértice (1,0); foco (1,1); diretriz y=-1; eixo x=1; e=1.
(k) \displaystyle \frac{(x+1)^2}{1}+\frac{(y-3)^2}{4}=1; elipse; centro (-1,3); vértices (-1,5),(-1,1); co-vértices (0,3),(-2,3); focos (-1,3\pm\sqrt{3}); e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(l) \displaystyle \frac{(x-6)^2}{81/4}+\frac{(y+9)^2}{81}=1; elipse; centro (6,-9); vértices (6,0),(6,-18); co-vértices (6\pm 4{,}5,-9); focos \bigl(6,-9\pm\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\bigr); e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

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