Determine a excentricidade da hipérbole
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1
e pede para determinar a excentricidade da hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A hipérbole está escrita numa forma padrão do tipo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Precisamos encontrar a excentricidade, que é um único número real associado à hipérbole.

Passo 2

Vamos identificar os parâmetros a^{2} e b^{2} comparando com a forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Da equação dada temos:
a^{2}=4,\qquad b^{2}=5.
Explicando o que são a e b: a é a semi-distância do centro aos vértices ao longo do eixo transverso (aqui o eixo x), e b é o parâmetro que aparece no denominador do termo negativo; ambos são números positivos que aparecem na forma padrão da hipérbole.

Passo 3

Agora preciso usar a relação entre a, b e c (distância do centro a cada foco) para hipérboles no formato \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Essa relação é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Comentário didático rápido: para elipses temos c^{2}=a^{2}-b^{2}, porque as elipses são “fechadas” (os focos estão mais próximos que os vértices), enquanto para hipérboles os focos ficam mais afastados, resultando no sinal positivo. A excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a}.
Portanto, calcular a excentricidade reduz-se a achar a, b, obter c por c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} e dividir por a.

Passo 4

Calcular a e b explicitamente a partir de a^{2} e b^{2}:
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{4}=2, \qquad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{5}.
Expliquei antes o significado; aqui estamos apenas extraindo os valores numéricos.

Passo 5

Calcular c usando c^{2}=a^{2}+b^{2}:
c^{2}=4+5=9,
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c=\sqrt{9}=3.
Mostrei cada operação: somar os quadrados e extrair raiz quadrada.

Passo 6

Finalmente, calcular a excentricidade e=\dfrac{c}{a}:
e=\frac{3}{2}.
Se quiser ver em decimal: e=1,5. A razão c/a mede quão “abertos” são os ramos da hipérbole: quanto maior e, mais afastados ficam os focos em relação aos vértices.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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