Determine a excentricidade da hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar a excentricidade da hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A hipérbole está escrita numa forma padrão do tipo
. - Precisamos encontrar a excentricidade, que é um único número real associado à hipérbole.
Passo 2
Vamos identificar os parâmetros
e
comparando com a forma padrão
.
Da equação dada temos:
Da equação dada temos:
Explicando o que são
e
:
é a semi-distância do centro aos vértices ao longo do eixo transverso (aqui o eixo
), e
é o parâmetro que aparece no denominador do termo negativo; ambos são números positivos que aparecem na forma padrão da hipérbole.
Passo 3
Agora preciso usar a relação entre
,
e
(distância do centro a cada foco) para hipérboles no formato
. Essa relação é
Comentário didático rápido: para elipses temos
, porque as elipses são “fechadas” (os focos estão mais próximos que os vértices), enquanto para hipérboles os focos ficam mais afastados, resultando no sinal positivo. A excentricidade é definida por
Portanto, calcular a excentricidade reduz-se a achar
,
, obter
por
e dividir por
.
Passo 4
Calcular
e
explicitamente a partir de
e
:
Expliquei antes o significado; aqui estamos apenas extraindo os valores numéricos.
Passo 5
Calcular
usando
:
logo
Mostrei cada operação: somar os quadrados e extrair raiz quadrada.
Passo 6
Finalmente, calcular a excentricidade
:
Se quiser ver em decimal:
. A razão
mede quão “abertos” são os ramos da hipérbole: quanto maior
, mais afastados ficam os focos em relação aos vértices.