Classifique a cônica e encontre foco(s) e excentricidade:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas: classificar a cônica e encontrar os foco(s) e a excentricidade. Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes dos termos quadráticos são
para
e
para
; não há termo misto
nem termos lineares.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por
, para obter o lado direito igual a
. Isso facilita identificar a cônica.
Simplificando as frações:
Explicação didática: colocar a equação com o
do lado direito é a forma usual para comparar com as formas padrão das cônicas (retas, elipses, hipérboles, parábolas). Aqui já aparece uma diferença de quadrados, que lembra a forma padrão de uma hipérbole.
Passo 3
Classificação da cônica: observe que os termos quadráticos têm sinais opostos (
para
e
para
). Regra prática: quando os quadrados aparecem com sinais opostos numa equação do segundo grau sem termo
, a cônica é uma hipérbole. Para ser mais formal, na forma geral
o discriminante
indica a classe: aqui
,
,
, então
o que confirma que é uma hipérbole. Conclusão: a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Identificar parâmetros da forma padrão. A forma que obtivemos é
comparando com
vemos que
Calculamos
Explicação didática: em uma hipérbole na forma
o parâmetro
é a semi-distância do centro até cada vértice sobre o eixo transverso, e
está ligado à “abertura” e às retas assíntotas.
Passo 5
Determinar
(distância do centro até cada foco). Em hipérboles a relação geométrica entre os parâmetros é
Isso difere da elipse, onde usamos
; para hipérbole somamos porque os focos ficam fora dos vértices. Substituindo:
logo
Breve justificativa intuitiva:
mede quanto os focos estão “além” dos vértices; a soma das quadraturas vem da definição geométrica da hipérbole em termos de diferença de distâncias até os focos.
Passo 6
Encontrar os focos e orientar corretamente. Como a forma padrão tem o sinal positivo no termo de
e negativo no termo de
, o eixo transverso é o eixo
(os vértices ficam sobre o eixo
). Portanto os focos estão no centro
deslocados em
ao longo do eixo
:
Passo 7
Calcular a excentricidade
. Para hipérboles a excentricidade é definida por
Isso mede o quão “aberta” é a hipérbole; para hipérboles temos sempre
. Substituindo os valores já encontrados:
Podemos observar que
, então
, o que confirma
.
Passo 8
Resumo final rápido dos elementos úteis (útil na prova): centro em
, vértices em
(porque
), focos em
, excentricidade
, assíntotas dadas por
(opcional, mas frequentemente pedidas).
Resposta
Classificação: hipérbole (transversa no eixo
).
Focos: .
Excentricidade: .
Focos:
Excentricidade: