Classifique a cônica e encontre foco(s) e excentricidade:
9 x^{2}-4 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}-4y^{2}=36
e pede duas coisas: classificar a cônica e encontrar os foco(s) e a excentricidade. Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes dos termos quadráticos são 9 para x^{2} e -4 para y^{2}; não há termo misto xy nem termos lineares.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 36, para obter o lado direito igual a 1. Isso facilita identificar a cônica.
\frac{9x^{2}}{36}-\frac{4y^{2}}{36}=1
Simplificando as frações:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Explicação didática: colocar a equação com o 1 do lado direito é a forma usual para comparar com as formas padrão das cônicas (retas, elipses, hipérboles, parábolas). Aqui já aparece uma diferença de quadrados, que lembra a forma padrão de uma hipérbole.

Passo 3

Classificação da cônica: observe que os termos quadráticos têm sinais opostos ( + para x^{2} e - para y^{2}). Regra prática: quando os quadrados aparecem com sinais opostos numa equação do segundo grau sem termo xy, a cônica é uma hipérbole. Para ser mais formal, na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots o discriminante B^{2}-4AC indica a classe: aqui A=9, B=0, C=-4, então
B^{2}-4AC=0^{2}-4\cdot 9\cdot(-4)=144>0,
o que confirma que é uma hipérbole. Conclusão: a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Identificar parâmetros da forma padrão. A forma que obtivemos é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
comparando com \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1 vemos que
a^{2}=4,\qquad b^{2}=9.
Calculamos
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{4}=2,\qquad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{9}=3.
Explicação didática: em uma hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 o parâmetro a é a semi-distância do centro até cada vértice sobre o eixo transverso, e b está ligado à “abertura” e às retas assíntotas.

Passo 5

Determinar c (distância do centro até cada foco). Em hipérboles a relação geométrica entre os parâmetros é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Isso difere da elipse, onde usamos c^{2}=a^{2}-b^{2}; para hipérbole somamos porque os focos ficam fora dos vértices. Substituindo:
c^{2}=4+9=13,
logo
c=\sqrt{13}.
Breve justificativa intuitiva: c mede quanto os focos estão “além” dos vértices; a soma das quadraturas vem da definição geométrica da hipérbole em termos de diferença de distâncias até os focos.

Passo 6

Encontrar os focos e orientar corretamente. Como a forma padrão tem o sinal positivo no termo de x^{2} e negativo no termo de y^{2}, o eixo transverso é o eixo x (os vértices ficam sobre o eixo x). Portanto os focos estão no centro (0,0) deslocados em \pm c ao longo do eixo x:
\text{Focos: }(\pm \sqrt{13},\,0).

Passo 7

Calcular a excentricidade e. Para hipérboles a excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a}.
Isso mede o quão “aberta” é a hipérbole; para hipérboles temos sempre e>1. Substituindo os valores já encontrados:
e=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Podemos observar que \sqrt{13}\approx 3,606, então e\approx 1,803, o que confirma e>1.

Passo 8

Resumo final rápido dos elementos úteis (útil na prova): centro em (0,0), vértices em (\pm 2,0) (porque a=2), focos em (\pm \sqrt{13},0), excentricidade e=\dfrac{\sqrt{13}}{2}, assíntotas dadas por y=\pm \dfrac{b}{a}x = \pm \dfrac{3}{2}x (opcional, mas frequentemente pedidas).

Resposta

Classificação: hipérbole (transversa no eixo x).
Focos: (\pm \sqrt{13},\,0).
Excentricidade: \dfrac{\sqrt{13}}{2}.

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