Determine a equação da cônica cujo conjunto de pontos satisfaz:
\operatorname{dist}\left(P, F_{1}\right)+\operatorname{dist}\left(P, F_{2}\right)=20,
\operatorname{com} F_{1}=(-6,0) e F_{2}=(6,0).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a equação da cônica cujos pontos P satisfazem
\operatorname{dist}\!\big(P,F_{1}\big)+\operatorname{dist}\!\big(P,F_{2}\big)=20,
com F_{1}=(-6,0) e F_{2}=(6,0).
Informações relevantes dadas:
F_{1}=(-6,0),\qquad F_{2}=(6,0),\qquad \text{e}\qquad \operatorname{dist}(P,F_{1})+\operatorname{dist}(P,F_{2})=20.
O que é pedido: a equação cartesiana da cônica (em coordenadas x,y) que corresponde ao lugar geométrico descrito acima.

Passo 2

Vamos colocar um ponto genérico P com coordenadas (x,y). As distâncias de P aos focos são
d_{1}=\sqrt{(x+6)^{2}+y^{2}},\qquad d_{2}=\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}}.
A condição do enunciado vira a equação com raízes:
\sqrt{(x+6)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}}=20.
Nota intuitiva: quando o conjunto dos pontos satisfaz “soma das distâncias até dois pontos fixos é constante”, isso define uma elipse. Aqui os focos estão simetricamente em relação ao eixo y, o ponto médio dos focos é (0,0) — então a elipse terá centro em (0,0) e eixo maior ao longo do eixo x.

Passo 3

Apresento o método rápido usando parâmetros da elipse para ter uma ideia numérica antes da conta:
  • A distância entre os focos é 2c. Como F_{1}=(-6,0) e F_{2}=(6,0), temos
2c=12\quad\Rightarrow\quad c=6.
  • A soma das distâncias aos focos para qualquer ponto da elipse é 2a. Como essa soma é 20, temos
2a=20\quad\Rightarrow\quad a=10.
  • Para uma elipse com eixo maior no x, a relação entre semi-eixos é
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Substituindo,
b^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64\quad\Rightarrow\quad b=8.
Portanto a forma padrão esperada é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1.
Agora faço a derivação algébrica completa (com radicais) para mostrar passo a passo como chegar a essa equação a partir da condição inicial.

Passo 4

Escrevo novamente a equação inicial em termos de d_{1} e d_{2}:
d_{1}+d_{2}=20,
com
d_{1}=\sqrt{(x+6)^{2}+y^{2}},\qquad d_{2}=\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}}.
Isolo um radical e elevo ao quadrado para eliminar uma raiz. Por exemplo,
d_{1}=20-d_{2}.
Elevando ao quadrado:
d_{1}^{2}=(20-d_{2})^{2}=400-40d_{2}+d_{2}^{2}.

Passo 5

Substituo d_{1}^{2}=(x+6)^{2}+y^{2} e d_{2}^{2}=(x-6)^{2}+y^{2} na igualdade do passo anterior. Ficamos com
(x+6)^{2}+y^{2}=400-40d_{2}+(x-6)^{2}+y^{2}.
Os termos y^{2} cancelam dos dois lados; ao simplificar (x+6)^{2}-(x-6)^{2} vemos que os termos quadráticos em x também se combinam, mas uma forma mais direta é somar as duas expressões d_1^2+d_2^2 ao quadrar a soma inicial. Faço isso porque é mais limpo: elevando (d_{1}+d_{2})^{2}=400 obtemos
d_{1}^{2}+2d_{1}d_{2}+d_{2}^{2}=400.
Substituindo d_{1}^{2}=(x+6)^{2}+y^{2} e d_{2}^{2}=(x-6)^{2}+y^{2} e somando:
\big((x+6)^{2}+y^{2}\big)+\big((x-6)^{2}+y^{2}\big)+2d_{1}d_{2}=400.
Calculo (x+6)^{2}+(x-6)^{2}=2x^{2}+72. Assim
2x^{2}+2y^{2}+72+2d_{1}d_{2}=400.
Dividindo por 2:
x^{2}+y^{2}+36+d_{1}d_{2}=200,
daí
d_{1}d_{2}=164-(x^{2}+y^{2}).

Passo 6

Agora elevo ao quadrado a última igualdade entre d_{1}d_{2} e a expressão em x,y. O produto d_{1}^{2}d_{2}^{2} pode ser escrito como
d_{1}^{2}d_{2}^{2}=\big((x+6)^{2}+y^{2}\big)\big((x-6)^{2}+y^{2}\big).
Use a substituição S=x^{2}+y^{2} para simplificar a álgebra. Então
d_{1}d_{2}=164-S,
logo
(d_{1}d_{2})^{2}=(164-S)^{2}.
Por outro lado
\big((x+6)^{2}+y^{2}\big)\big((x-6)^{2}+y^{2}\big)=(S+36)^{2}-(12x)^{2},
pois é da forma (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} com A=S+36 e B=12x. Assim obtemos a identidade
(164-S)^{2}=(S+36)^{2}-144x^{2}.

Passo 7

Expando e simplifico a equação do passo anterior. Expandindo ambos os lados:
164^{2}-328S+S^{2}=S^{2}+72S+36^{2}-144x^{2}.
Os termos S^{2} cancelam. Reagrupo termos:
164^{2}-36^{2}=328S+72S-144x^{2}.
Calculo 164^{2}=26896 e 36^{2}=1296, portanto 164^{2}-36^{2}=26896-1296=25600. Assim
25600=400S-144x^{2}.
Substituindo S=x^{2}+y^{2},
25600=400(x^{2}+y^{2})-144x^{2}=256x^{2}+400y^{2}.

Passo 8

Divido ambos os lados por 25600 para obter a forma normal da cônica:
\frac{256x^{2}}{25600}+\frac{400y^{2}}{25600}=1.
Simplificando cada fração:
\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1.
Isso confirma o resultado rápido do passo 3, com a=10, b=8, c=6. Posso ainda anotar os elementos geométricos úteis: os vértices principais estão em (\pm 10,0), os co-vértices em (0,\pm 8) e a excentricidade é e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.

Resposta

\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1

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