Determine a equação da cônica cujo conjunto de pontos satisfaz:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a equação da cônica cujos pontos
satisfazem
com
e
.
Informações relevantes dadas:
O que é pedido: a equação cartesiana da cônica (em coordenadas
) que corresponde ao lugar geométrico descrito acima.
Passo 2
Vamos colocar um ponto genérico
com coordenadas
. As distâncias de
aos focos são
A condição do enunciado vira a equação com raízes:
Nota intuitiva: quando o conjunto dos pontos satisfaz “soma das distâncias até dois pontos fixos é constante”, isso define uma elipse. Aqui os focos estão simetricamente em relação ao eixo
, o ponto médio dos focos é
— então a elipse terá centro em
e eixo maior ao longo do eixo
.
Passo 3
Apresento o método rápido usando parâmetros da elipse para ter uma ideia numérica antes da conta:
- A distância entre os focos é
. Como e , temos
- A soma das distâncias aos focos para qualquer ponto da elipse é
. Como essa soma é , temos
- Para uma elipse com eixo maior no
, a relação entre semi-eixos é
Substituindo,
Portanto a forma padrão esperada é
Agora faço a derivação algébrica completa (com radicais) para mostrar passo a passo como chegar a essa equação a partir da condição inicial.
Passo 4
Escrevo novamente a equação inicial em termos de
e
:
com
Isolo um radical e elevo ao quadrado para eliminar uma raiz. Por exemplo,
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Substituo
e
na igualdade do passo anterior. Ficamos com
Os termos
cancelam dos dois lados; ao simplificar
vemos que os termos quadráticos em
também se combinam, mas uma forma mais direta é somar as duas expressões
ao quadrar a soma inicial. Faço isso porque é mais limpo: elevando
obtemos
Substituindo
e
e somando:
Calculo
. Assim
Dividindo por
:
daí
Passo 6
Agora elevo ao quadrado a última igualdade entre
e a expressão em
. O produto
pode ser escrito como
Use a substituição
para simplificar a álgebra. Então
logo
Por outro lado
pois é da forma
com
e
. Assim obtemos a identidade
Passo 7
Expando e simplifico a equação do passo anterior. Expandindo ambos os lados:
Os termos
cancelam. Reagrupo termos:
Calculo
e
, portanto
. Assim
Substituindo
,
Passo 8
Divido ambos os lados por
para obter a forma normal da cônica:
Simplificando cada fração:
Isso confirma o resultado rápido do passo 3, com
,
,
. Posso ainda anotar os elementos geométricos úteis: os vértices principais estão em
, os co-vértices em
e a excentricidade é
.