Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução. Isso tudo está relacionado com o conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que temos duas funções multiplicadas por 
  e 
 , respectivamente. Vamos chamar:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de 
  em relação a 
  é igual à derivada parcial de 
  em relação a 
 . Ou seja, precisamos calcular 
  e 
  e ver se são iguais.
Passo 4
Vamos calcular 
 :
Agora, vamos calcular 
 :
Passo 5
Comparando 
  e 
 :
Vemos que 
 . Portanto, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função 
  tal que:
Vamos encontrar 
  integrando 
  em relação a 
 :
Onde 
  é uma função que depende apenas de 
 .
Passo 7
Integrando 
 :
Vamos integrar termo a termo:
Essas integrais podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes e equações diferenciais.
Passo 8
Após realizar as integrais, obtemos:
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
  para encontrar 
 :
Isso implica que:
Passo 9
Substituindo 
  de volta na expressão de 
 :
Passo 10
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é 
 , onde 
  é uma constante.