Determine o valor de 
  que torna 
  contínua em 
 
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. A função 
  está definida de forma diferente para pontos distintos de 
  e para o próprio ponto 
 . Queremos encontrar o valor de 
  que faz com que 
  seja contínua em 
 . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis, que envolve calcular o limite da função quando 
  se aproxima de 
 .
Passo 2
Para que a função 
  seja contínua em 
 , o limite de 
  quando 
  tende a 
  deve ser igual a 
 , ou seja, 
 . Matemáticamente, isso é expresso por:
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Uma técnica eficiente para limites em várias variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares, onde 
  e 
 , com 
 . Isso simplifica a expressão e facilita o cálculo do limite.
Passo 4
Substituindo as coordenadas polares na função, temos:
Passo 5
Simplificamos o denominador usando a identidade trigonométrica 
 :
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando 
 :
Isso ocorre porque 
  faz com que todo o termo multiplique por zero, independentemente do valor de 
 .
Passo 7
Como o limite da função quando 
  é 
 , para que 
  seja contínua em 
 , devemos ter:
Resposta
O valor de 
  que torna 
  contínua em 
  é 
 .