Para cada equação abaixo:
- Identifique a superfície quádrica.
- Descreva as seções planas (cortes por planos
).
Passo 1
O enunciado pede para a superfície dada por
identificar que tipo de quádricas ela gera e descrever como são as interseções (seções) dela pelos planos
,
e
. Vamos usar conceitos de superfícies quádricas e cortes por planos coordenados.
Passo 2
Note que a equação não envolve
. Isso significa que todo ponto
que satisfaz
permanece livre em
. Logo, a superfície é um cilindro (não fechado em
) cuja seção transversal no plano
constante é sempre a mesma curva no plano
. Mais precisamente, é um cilindro elíptico cujo eixo está paralelo ao eixo
.
Passo 3
Corte por
:
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Se
, não há interseção. Se
, então
e como não há dependência de
, cada valor fixo de
intersecta o cilindro em duas retas paralelas ao eixo
, localizadas em
e em
.
Passo 4
Corte por
:
Substituindo obtemos
Substituindo
Se
, não há interseção. Caso contrário,
e, de novo, como
é livre, cada
corta o cilindro em duas retas paralelas ao eixo
em
e
.
Passo 5
Corte por
:
Substituindo não altera a equação no
. Então em cada plano horizontal
temos a elipse
Substituindo
Ou seja, cada seção por
constante é exatamente a mesma elipse de semi-eixos
em
e
em
.
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a
.
- Plano
: interseção são duas retas paralelas a em (existente só para ). - Plano
: interseção são duas retas paralelas a em (só para ). - Plano
: interseção é a elipse .