Para cada equação abaixo:
  • Identifique a superfície quádrica.
  • Descreva as seções planas (cortes por planos x=k, y=k, z=k ).
    \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado pede para a superfície dada por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
identificar que tipo de quádricas ela gera e descrever como são as interseções (seções) dela pelos planos x=k, y=k e z=k. Vamos usar conceitos de superfícies quádricas e cortes por planos coordenados.

Passo 2

Note que a equação não envolve z. Isso significa que todo ponto (x,y,z) que satisfaz
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
permanece livre em z. Logo, a superfície é um cilindro (não fechado em z) cuja seção transversal no plano z= constante é sempre a mesma curva no plano xy. Mais precisamente, é um cilindro elíptico cujo eixo está paralelo ao eixo z.

Passo 3

Corte por x=k:
Substituindo x=k em \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 obtemos
\frac{k^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9}=1-\frac{k^{2}}{4}.
Se \displaystyle 1-\frac{k^{2}}{4}<0, não há interseção. Se \displaystyle 1-\frac{k^{2}}{4}\ge0, então
y=\pm 3\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{4}},
e como não há dependência de z, cada valor fixo de x=k intersecta o cilindro em duas retas paralelas ao eixo z, localizadas em
\displaystyle y=+3\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{4}} e em \displaystyle y=-3\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{4}}.

Passo 4

Corte por y=k:
Substituindo y=k obtemos
\frac{x^{2}}{4}+\frac{k^{2}}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}=1-\frac{k^{2}}{9}.
Se \displaystyle 1-\frac{k^{2}}{9}<0, não há interseção. Caso contrário,
x=\pm 2\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{9}},
e, de novo, como z é livre, cada y=k corta o cilindro em duas retas paralelas ao eixo z em
\displaystyle x=+2\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{9}} e \displaystyle x=-2\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{9}}.

Passo 5

Corte por z=k:
Substituindo z=k não altera a equação no xy. Então em cada plano horizontal z=k temos a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Ou seja, cada seção por z= constante é exatamente a mesma elipse de semi-eixos 2 em x e 3 em y.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a z.
  • Plano x=k: interseção são duas retas paralelas a z em y=\pm3\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{4}} (existente só para |k|\le2).
  • Plano y=k: interseção são duas retas paralelas a z em x=\pm2\sqrt{1-\tfrac{k^{2}}{9}} (só para |k|\le3).
  • Plano z=k: interseção é a elipse \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}=1.

Exercícios relacionados