Questão 4 Um refletor solar possui a forma de um paraboloide de revolução, descrito pela equação:
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{12}
  1. Determine a coordenada do foco da superfície.
  2. Explique por que essa geometria é eficiente para sistemas de concentração solar.
  3. Se o engenheiro deseja concentrar a luz no ponto z=2, qual deve ser a constante no denominador da equação?

Passo 1

O enunciado dá um paraboloide de revolução de vértice na origem, descrito por
z = \frac{x^2 + y^2}{12}
e pede:
  1. A coordenada do foco.
  2. Por que essa forma concentra bem a luz solar.
  3. Se quisermos que o foco esteja em z=2, qual deve ser o denominador na fórmula?

Passo 2

Para um paraboloide de revolução com equação genérica
z = \frac{x^2 + y^2}{4p},
o parâmetro p é a distância do vértice ao foco, que fica em (0,0,p). Igualando
\frac{1}{4p} = \frac{1}{12}
vem
4p = 12 \quad\Longrightarrow\quad p = 3.
Logo, o foco é (0,0,3).

Passo 3

A geometria parabólica é eficiente porque todo raio de luz paralelo ao eixo z reflete numa superfície parabólica e converge exatamente ao foco. Assim concentramos a energia solar num único ponto.

Passo 4

Se quisermos que o foco esteja em z=2, basta escolher p=2. Então na fórmula
z = \frac{x^2 + y^2}{4p}
o denominador é 4p = 4\cdot2 = 8. Ficaria
z = \frac{x^2+y^2}{8}.

Resposta

  1. O foco fica em (0,0,3).
  2. Porque raios paralelos ao eixo são refletidos e todos convergem ao foco, concentrando a luz.
  3. Para foco em z=2, a equação deve ser z=(x^2+y^2)/8, ou seja, o denominador vale 8.

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